Dans ce travail on veut obtenir les niveaux d'énergies de l'oscillateur harmonique et de l'atome d'hydrogène. A cet effet: -On écrira l'équation différentielle vérifiée par la partie polynômiale de la fonction d'onde stationnaire; -On calculera le symbole de l'opérateur différentiel annulé par la fonction d'onde polynômiale; -La quantification s'obtiendra par le comportement à l'infini du nombre d'onde.
Equation de Schrödinger à une dimension
La particule quantique vérifie l'équation Schrödinger dépendante du temps : \[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x,t) + V(x)\Psi(x,t)=i\hbar \dfrac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}}\ .\ \ (1.1)}\] Le potentiel est considéré comme indépendant du temps;Posons : \[\small{\mathbf{\Psi(x,t)=\Phi(x)\,\exp\left (\dfrac{-i\,E\,t}{\hbar}\right )}\ .\ (1.2)}\] En substituant (1.2) dans (1.1) il vient : \[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\Phi(x) + V(x)\Psi(x)=E\,\Phi(x)}\ .\ \ (1.3)}\]
Symbole d'un opérateur différentiel
On définit le symbole de l'opérateur différentiel \(\mathbf{\hat O}\) par : \[\small{\mathbf{\sigma(x,p)=\ \exp\left(\dfrac{-i\,p\,x}{\hbar}\right )\,\hat O\,\exp\left (\dfrac{i\,p\,x}{\hbar}\right )}\ .\ (1.4)}\] Si par exemple on prend : \[\small{\mathbf{\hat O\,:=\,-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}}\ ; \ \ (1.5)}\] On obtient : \[\small{\mathbf{\sigma(x,p)=p}\ .\ (1.6)}\] Le symbole permet de reconstituer l'opérateur grâce à la transformée de Fourier inverse : \[\small{\mathbf{\hat O\,(f(x))\,=\,\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi\,\hbar}}\,\int_{-\infty}^{+\infty}\ \sigma(x,p)\,F(p)\,\exp\left (\dfrac{i\,p\,x}{\hbar}\right )\,dp}\ .\ (1.7)}\] Dans les applications on remplacera \(\mathbf{p}\) par \(\mathbf{-i\,\hbar \,k}\).
Application à l'oscillateur harmonique
Pour l'oscillateur harmonique, l'équation de Schrödinger devient :
\[\small{\mathbf{-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{d^2\, \Phi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}\,m\, {\omega^2}\, x^2\,\Phi(x)=E\,\Phi(x)}\ .\ \ (1.8)}\]
Si l'on pose :
\[\small{\mathbf{\Phi(x)=A\,\exp\left (\dfrac{-m\,\omega\,x^2}{2\,\hbar}\right )\,P(x)}\ ;\ (1.9)}\]
La partie polynômiale \(\mathbf{P(x)}\) annule l'opérateur différentiel :
\[\small{\mathbf{\hat L=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{d^2}{dx^2}+\,\hbar\,\omega\,x\dfrac{d}{dx}+\left (\dfrac{\hbar\,\omega}{2}-E\right )}\ .\ \ (1.10)}\]
Introduisons le symbole :
\[\small{\mathbf{\sigma(x,k)=\exp(-k\,x)\,\hat L\,\exp(k\,x)}\ ;\ (1.11)}\]
\[\small{\mathbf{\sigma(x,k)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,k^2+\hbar\,\omega\,x\,k+\left (\dfrac{\hbar\,\omega}{2}-E\right )}\ .\ (1.12)}\]
L'annulation du symbole donne une équation du second degré en le nombre d'onde \(\mathbf{k}\). La plus petite des racines est :
\[\small{\mathbf{k=\,\dfrac{m\omega\,x}{\hbar}\,\left (1-\sqrt{1+\dfrac{2}{m\omega^2\,x^{2}}\,\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E\right )}\ \right )}\ .\ (1.13)}\]
Pour \(\mathbf{x}\) tendant vers l'infini, on obtient le développement asymptotique :
\[\small{\mathbf{k\sim\, \dfrac{-1}{\hbar\,\omega\,x}\,\left (\dfrac{\hbar\omega}{2}-E\right )}\ .\ (1.14)}\]
Choisissons un comportement pour (1.14) du type :
\[\small{\mathbf{k\sim\,\dfrac{n}{x}};\ (1.15)}\]
\(\mathbf{n}\) est un entier positif ou nul.
La comparaison des relations (1.14) et (1.15) implique :
\[\small{\boxed{\mathbf{E_{n}\,=\,\hbar\omega\,\left (n+\dfrac{1}{2}\right )}}\ .\ (1.16)}\]
Application à l'atome d'hydrogène
Considérons l'équation différentielle vérifiée par la fonction radiale\(\,\mathbf{R(r)}\) dépendant
du nombre quantique azimuthal\(\,\mathbf{l}\,\) :
\[\small{\mathbf{\dfrac{d^2\,R(r)}{dr^2}\,+\dfrac{2}{r}\,\dfrac{d\,R(r)}{dr}+\,\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2\,r}-\dfrac{l(l+1)}{r^2}+\dfrac{2\,m\,E}{\hbar^2}\right )\,R(r)\,=\,0}\ .\,(1.17)}\]
Posons :
\[\small{\mathbf{R(r)=\exp{\left (-\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ r\right )}\,r^{l}\,F(r)}\ ;\,(1.18)}\]
La fonction \(\mathbf{F(r)}\)vérifie l'équation différentielle :
\[\small{\mathbf{\dfrac{d^2\,F(r)}{dr^2}\,+2\,\left (\dfrac{l+1}{r}-\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,\dfrac{d\,F(r)}{dr}
+\,\dfrac{1}{r}\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2}\,-2\,(l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,F(r)\,=\,0}.\,(1.19)}\]
La fonction \(\mathbf{F(r)}\)annule l'opérateur différentiel :
\[\small{\mathbf{\hat L=\dfrac{d^2}{dr^2}\,+2\,\left (\dfrac{l+1}{r}-\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,\dfrac{d}{dr}
+\,\dfrac{1}{r}\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2}\,-2\,(l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right)}\ .\,(1.20)}\]
Introduisons le symbole :
\[\small{\mathbf{\sigma(r,k)=\exp(-k\,r)\,\hat L\,\exp(k\,r)}\ ;\ (1.21)}\]
\[\small{\mathbf{\sigma(r,k)=k^2+2\,\left (\dfrac{l+1}{r}- \sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )\,k+\,\dfrac{1}{r}\left (\dfrac{m\,e^2}{2\,\pi\,\epsilon_0\,
\hbar^2}\,-2\,(l+1)\,\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}}\ \right )}\ .\,(1.22)}\]
L'annulation du symbole donne une équation du second degré en le nombre d'onde \(\mathbf{k}\).La plus petite des racines est :
\[\small{\mathbf{k=-\dfrac{(l+1)}{r}+\sqrt{\dfrac{-2\,m\,E}{\hbar^2}} -\sqrt{-\dfrac{2\,m\,E}{\hbar^2}-\,\dfrac{m\,e^2}{2\pi\,\epsilon_0\,\hbar^2\,r}-\,\dfrac{(l+1)^2}{r^2}}}\ .\ (1.23)}\]
Pour \(\mathbf{r}\) tendant vers l'infini, on obtient le développement asymptotique :
\[\small{\mathbf{k\sim\,-\dfrac{(l+1)}{r}\,+\dfrac{\sqrt{2\,m}\,e^2}{8\,\pi\,\epsilon_0\,\hbar\,\sqrt{-E}\,\,r}} \ .\ (1.24)}\]
Choisissons un comportement pour (1.24) du type :
\[\small{\mathbf{k\sim\,\dfrac{s-1}{r}}\ .\ (1.25)}\]
\(\mathbf{s}\) est un entier supérieur ou égal à 1.Si on pose \(\mathbf{n=s+l}\), la comparaison des relations (1.24) et (1.25) implique :
\[\small{\boxed{\mathbf{E_{n}\,=-\dfrac{m\,e^4}{32\,\pi^2\,\epsilon_0^2\,\hbar^2\,n^2}}}\ .\ (1.26)}\]
La différentielle quantique d'un opérateur \(\mathbf{\hat A}\) est calquée sur la relation d'Ehrenfest :
\[\mathbf{\dfrac{d < \Psi\left|\hat A\right|\Psi >}{dt}=\frac{i}{\hbar} < \Psi |[\hat H\, ,\hat A]|\Psi > + < \Psi \left |\dfrac{\partial \hat A}{\partial t}\right |\Psi >}\ .\ \ (2.1)\]
On va multiplier par \(\mathbf{dt}\) les deux membres de l'équation (2.1) et oublier l'état \(\mathbf{|\Psi >}\)et donc ne raisonner que sur les opérateurs.
La définition de la différentielle quantique de \(\mathbf{\hat A}\) est donc :
\[\mathbf{d\hat A\,:=\frac{i}{\hbar} \,\left [\hat H\,-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\, ,\hat A\right ]\,dt}\ .\ \ (2.2)\]
Le Hamiltonien de la théorie de Schrödinger est donné par l'expression :
\[
\mathbf{\hat{H}=\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )^{2}+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )^{2}+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )^{2} \ + q\,V}\ .\ \ (2.3)
\]
Donnons les différences quantiques des coordonnées spatiales :
\[
\begin{align}
&\mathbf{d\hat{x}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )}{m}\ dt}\ ,\\
&\mathbf{d\hat{y}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )}{m}\ dt}\ ,\\
&\mathbf{d\hat{z}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )}{m}\ dt}\ .\ \ (2.4)
\end{align}
\]
Les relations (2.4) traduisent le lien entre vitesse et quantité de mouvement.La différence quantique du
temps \(\mathbf{d\hat{t}}\) est égale à \(\mathbf{dt}\).
Le calcul des différences quantiques des quantités de mouvement est long et instructif.
Pour la projection suivant l'axe des x, on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{d\hat{p_{\small x}}}
&\mathbf{=\dfrac{i}{\hbar} \,\left [\hat{H}\,-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\, ,\hat{p_{\small x}}\right ]\,dt}\\
&\mathbf{=\dfrac{i}{\hbar} \,\left [\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )^{2}
+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )^{2}
+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )^{2}
+ q\,V
-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t},
\ -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right ]dt}\\
&\mathbf{=q\left (-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (-2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}-i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small y}}{\partial x\partial y}-2\,q\,A_{\small y}\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (-2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial z}-i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small z}}{\partial x\partial z}-2\,q\,A_{\small z}\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y}+i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small x}}{\partial y^{2}}+2\,q\,A_{\small y}\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}\dfrac{\partial}{\partial z}+i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small x}}{\partial z^{2}}+2\,q\,A_{\small z}\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}\right )\ dt}\ .\ \ (2.5)
\end{align}
\]
Pour obtenir la deuxième loi de Newton, il faut comparer (2.5) avec la percussion suivant l'axe des x,soit classiquement :
\[
\mathbf{F_{\small x}\,dt= q\,E_{\small x}\,dt+q(dy\,B_{\small z}-dz\,B_{\small y})}\ .\ \ (2.6)
\]
La quantification de (2.6) se fait en :
-remplaçant les différentielles classiques par les différentielles quantiques;
-symétrisant les opérateurs.
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\widehat{F_{\small x}\,dt}= q\,E_{\small x}\,d\hat{t}+\dfrac{q}{2}(d\hat{y}\,B_{\small z}+B_{\small z}d\hat{y}-d\hat{z}\,B_{\small y}-B_{\small y}d\hat{z})}\ .\ \ (2.7)
\]
En utilisant (2.4) et les relations donnant les champs en fonction des potentiels( voir annexe à la fin), on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{F_{\small x}\,dt}\,=}
&\mathbf{\ \ q\left (-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}\right )\ dt}\\
&\mathbf{ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}-q\,A_{\small y}\right )\left (\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )+\left (\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}-q\,A_{\small y}\right )\right )\ dt}\\
&\mathbf{ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}-q\,A_{\small z}\right )\left (\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )-\left (\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}-q\,A_{\small z}\right )\right )\ dt}\ .\ \ (2.8)
\end{align}
\]
Le développement de (2.8) est égal à (2.5), ce qui permet d'écrire en regroupant les trois directions :
\[
\boxed{\mathbf{d\hat{\vec{p}}=\widehat{\vec{{F}}\,dt}}}\ .\ \ (2.9)
\]
Pour ce qui est du théorème de l'énergie cinétique, il faudra calculer l'équivalent quantique de \(\mathbf{\vec{F}.\vec{v}\,dt}\), soit :
\[
\mathbf{q\,(E_{\small x}\,dx+E_{\small y}\,dy+E_{\small z}\,dz)}\ .\ \ (2.10)
\]
Il faut remplacer les différentielles classiques par les opérateurs (2.4) et faire l'opération de symétrisation, on obtient :
\[
\mathbf{\widehat{\vec{F}.\vec{v}}\,dt =\dfrac{q}{2}(E_{\small x}\,d\hat{x}+d\hat{x}\,E_{\small x})\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small y}\,d\hat{y}+d\hat{y}\,E_{\small y})\,
\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small z}\,d\hat{z}+d\hat{z}\,E_{\small z})}\ .\ \ (2.11)
\]
Le détail des calculs est pénible, mais la quantité (2.11) est égale à :
\[
\mathbf{d\hat{E_{\small c}}=\dfrac{i}{\hbar}\left [\hat{E_{\small c}}-i\,\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial t}+q\,V,\hat{E_{\small c}}\right ]\,dt}\ .\ \ (2.12)
\]
Le théorème de l'énergie cinétique prend donc la forme :
\[
\boxed{\mathbf{d\hat{E_{\small c}}=\widehat{\vec{F}.\vec{v}\,dt}}}\ .\ \ (2.13)
\]
Rappels
Les champs dérivent des potentiels suivant les relations :
\[
\begin{align}
\mathbf{E_{\small x}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}},\\
\mathbf{E_{\small y}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial t}},\\
\mathbf{E_{\small z}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial t}},\\
\mathbf{B_{\small x}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial z}},\\
\mathbf{B_{\small y}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}},\\
\mathbf{B_{\small z}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}}.\\
\end{align}
\]