2. Grandeurs différentielles du groupe
4. Exploitation différentielle de la loi de groupe
5. Action du groupe sur l'algèbre
6. Développements en série sur l'algèbre
9. Bases variables de l'algèbre
11. Evolution par crochet de Lie
12. Evolution par accolade de Poisson
13. Codifférentielle des formes
14. Utilisation du logiciel Sage
1.1 Introduction
Le groupe de Lie SL(2,R) est formé de matrices carrées \(\mathbf{x}\) d'ordre 2,avec coefficients réels, dont le déterminant est égal à 1.
Une paramétrisation rationnelle possible est :
\[\mathbf{x=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a}&\mathbf{b}\\
\mathbf{c}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (1.1)\]
L'élément neutre du groupe est défini par \(\mathbf{(a,b,c)=(1,0,0)}\) et la loi de groupe \(\mathbf{x^{"}=x\,x^{'}}\) s'écrit :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=a\,a^{'}+b\,c^{'}}\\
&\mathbf{b^{''}=a\,b^{'}+\dfrac{b\,(1+b^{'}\,c^{'})}{a^{'}}}\\
&\mathbf{c^{''}=c\,a^{'}+\frac{(1+b\,c)\,c^{'}}{a}}\ \ \ \ (1.2)
\end{align}
\right.
\]
L'algèbre de Lie est l'espace tangent au groupe en l'élément neutre, elle est engendrée par le triplet \(\mathbf{(H,X,Y)}\)
de matrices qui s'obtiennent en dérivant partiellement la matrice \(\mathbf{x}\) du groupe en l'élément neutre, soit :
\[
\begin{align}
&\mathbf{H=\dfrac{\partial x}{\partial a}(a=1,b=0,c=0)}\\
&\mathbf{\ \ \ =}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}}\\
\end{bmatrix}\mathbf{(a=1,b=0,c=0)}\\
&\mathbf{\ \ \ =}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-1}\\
\end{bmatrix}\\
\\
&\mathbf{X=\dfrac{\partial x}{\partial b}(a=1,b=0,c=0)}\\
&\mathbf{\ \ \ =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{1}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{c}{a}}\\
\end{bmatrix}\mathbf{(a=1,b=0,c=0)}\\
&\mathbf{\ \ \ =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{1}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\\
\\
&\mathbf{Y=\dfrac{\partial x}{\partial c}(a=1,b=0,c=0)}\\
&\mathbf{\ \ \ =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{1}&\mathbf{\dfrac{b}{a}}\\
\end{bmatrix}\mathbf{(a=1,b=0,c=0)}\\
&\mathbf{\ \ \ =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ (1.3)
\end{align}
\]
La base de l'algèbre de Lie est donc constituée des matrices \(\mathbf{H}\), \(\mathbf{X}\) et \(\mathbf{Y}\) ci-dessous :
\[\mathbf{H=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-1}
\end{bmatrix},\
\mathbf{X=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{1}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{Y=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{1}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}
\ \ \ \ (1.4)\]
Les trois matrices ci-dessus vérifient les relations de commutation de Lie :
\[\mathbf{[H,X]=2\,X\ ,[H,Y]=-2\,Y\ et\ [X,Y]=H}\ \ \ \ (1.5)
\]
Il est possible d'interpréter l'algèbre de Lie comme formée de transformations infinitésimales du groupe agissant sur des points
\(\mathbf{P(u,v)}\) d'un plan affine. Considérons une transformation du groupe voisine de l'identité :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{u^{'}}\\
\mathbf{v^{'}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{1+da}&\mathbf{db}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{\dfrac{(1+db\,dc)}{1+da}}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{u}\\
\mathbf{v}
\end{bmatrix}\ (1.6)
\]
Développons (1.6) jusqu'à l'ordre 1 :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{u^{'}}\\
\mathbf{v^{'}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{u}\\
\mathbf{v}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{db}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{-da}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{u}\\
\mathbf{v}
\end{bmatrix}\ \ (1.7)
\]
La partie infinitésimale de (1.6) est bien \(\mathbf{da\,H+db\,X+dc\,Y}\).
On peut encore représenter ces matrices par des opérateurs différentiels \(\mathbf{\hat H}\), \(\mathbf{\hat X}\) et \(\mathbf{\hat Y}\) définis par :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{u^{'}}\\
\mathbf{v^{'}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{u}\\
\mathbf{v}
\end{bmatrix}
-\mathbf{(da\,\hat H+db\,\hat X+dc\,\hat Y)}
\begin{bmatrix}
\mathbf{u}\\
\mathbf{v}
\end{bmatrix}\ \ \ (1.8)
\]
La comparaison de (1.7) et (1.8) permet d'obtenir rapidement :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\hat H=-u\,\dfrac{\partial}{\partial u}+v\,\dfrac{\partial}{\partial v}}\\
&\mathbf{\hat X=-v\,\dfrac{\partial}{\partial u}}\\
&\mathbf{\hat Y=-u\,\dfrac{\partial}{\partial v}}\ \ \ \ (1.9)
\end{align}
\]
Sauriez-vous justifier le choix du signe moins (-) dans (1.8)?
L'algèbre de Lie du groupe est ainsi formée de matrices carrées \(\mathbf{L}\) d'ordre 2 et de trace nulle. Cette dernière propriété
est une conséquence de la définition qui impose un déterminant égal à 1 pour \(\mathbf{x}\). L'élément général de l'algèbre de
Lie du groupe SL(2,R) est donc de la forme \(\mathbf{L=p\,H+q\,X+r\,Y}\), soit :
\[\mathbf{L=}\begin{bmatrix}
\mathbf{p}&\mathbf{q}\\
\mathbf{r}&\mathbf{-p}\\
\end{bmatrix}\ .\ \ (1.10)\]
La relation exponentielle entre groupe et algèbre de Lie \(\mathbf{x=exp(L)}\) permet d'obtenir :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a=cosh\left (\sqrt{p^{2}+q\,r}\ \right )+p\ \dfrac{sinh\left (\sqrt{p^{2}+q\,r}\ \right )}{\sqrt{p^{2}+q\,r}}}\\
&\mathbf{b=q\ \dfrac{sinh\left (\sqrt{p^{2}+q\,r}\ \right )}{\sqrt{p^{2}+q\,r}}}\\
&\mathbf{c=r\ \dfrac{sinh\left (\sqrt{p^{2}+q\,r}\ \right )}{\sqrt{p^{2}+q\,r}}}\ \ \ \ (1.11)
\end{align}
\right.
\]
1.2 Forme bilinéaire de l'espace invariante par le groupe
Nous cherchons une forme bilinéaire en les points \(\mathbf{P_{1}\, (u_{1},v_{1})}\) et \(\mathbf{P_{2}\, (u_{2},v_{2})}\) qui ne soit pas changée sous l'action du groupe.
Prenons comme expression bilinéaire la quantité \(\mathbf{B(P_{1},P_{2})\,=\alpha\, u_{1}\, u_{2} +\beta\, u_{1}\, v_{2}+\gamma\, v_{1}\, u_{2} +\delta\, v_{1}\, v_{2}}\ .\ \ (1.12)\)
Les transformations du groupe s'écrivent : \[ \left\lbrace \begin{align} \mathbf{u_{1}^{\, \prime}\, =\ }&\mathbf{a\, u_{1}+b\, v_{1}}\\ \mathbf{v_{1}^{\, \prime}\, =\ }&\mathbf{c\, u_{1}+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, v_{1}} \end{align} \right. \] et \[ \left\lbrace \begin{align} \mathbf{u_{2}^{\, \prime}\, =\ }&\mathbf{a\, u_{2}+b\, v_{2}}\\ \mathbf{v_{2}^{\, \prime}\, =\ }&\mathbf{c\, u_{2}+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, v_{2}}\ \ \ (1.13) \end{align} \right. \] A l'aide de (1.12) et (1.13) l'invariance s'écrit : \[ \mathbf{\alpha \,(a\, u_{1}+b\, v_{1})\,(a\, u_{2}+b\, v_{2})+\beta \, (a\, u_{1}+b\, v_{1})\, \left(c\, u_{2}+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, v_{2} \right )}\\ \mathbf{+}\\ \mathbf{\gamma \, \left(c\, u_{1}+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, v_{1} \right )(a\, u_{2}+b\, v_{2})+\delta \,\left (c\, u_{1}+\dfrac{(1+b\, c\, )}{a}\, v_{1}\right )\, \left(c\, u_{2}+\dfrac{(1+b\, c)}{a}\, v_{2}\, \right )}\\ \mathbf{=}\\ \mathbf{\alpha\, u_{1}\, u_{2} +\beta\, u_{1}\, v_{2}+\gamma\, v_{1}\, u_{2} +\delta\, v_{1}\, v_{2}}\ \ \ \ (1.14) \] Egalisons les termes en \(\mathbf{u_{i}\, v_{j}}\) de chaque côté du signe égal de (1.14) : \[ \begin{equation} \begin{cases} \mathbf{u_{1}\, u_{2}\ \ :\ \alpha \, a^{2}+\beta \, a\, c +\gamma \, c\, a+\delta \, c^{2} =\alpha}\\ \mathbf{u_{1}\, v_{2}\ \ :\ \alpha \, a\, b+\beta \, (1+b\, c)+\gamma \, c\, b+\delta \, \dfrac{c\, (1+b\,c)}{a}=\beta }\\ \mathbf{v_{1}\, u_{2}\ \ :\ \alpha \, b\, a+\beta \, b\,c+\gamma \, (1+b\, c)+\delta \, \dfrac{(1+b\,c)\, c}{a}=\gamma}\\ \mathbf{v_{1}\, v_{2}\ \ :\ \alpha \, b^{2}+\beta \, \dfrac{b\, (1+b\,c)}{a}+\gamma \, \dfrac{(1+b\,c)\, c}{a}+\delta \, \dfrac{(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}=\delta }\ \ \ \ (1.15) \end{cases} \end{equation} \] Dans (1.15) il n'y a que trois équations indépendantes : \[ \begin{equation} \begin{cases} \mathbf{\alpha \, a^{2}+(\beta +\gamma)\, a\,c+\delta \, c^{2}=\alpha}\\ \mathbf{\alpha \, a\, b+(\beta +\gamma)\, b\,c+\delta \, \dfrac{c\, (1+b\,c)}{a}=0}\\ \mathbf{\alpha \, b^{2}+(\beta +\gamma)\,\dfrac{b\, (1+b\,c)}{a}+\delta \, \dfrac{(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}=\delta }\ \ \ \ (1.16) \end{cases} \end{equation} \] Multiplions par b la première équation de (1.16) et soustrayons la deuxième équation de (1.16) multipliée par a : \[ \mathbf{-\, \delta \, c=\, \alpha \, b} \]
Ce qui impose \(\mathbf{\alpha\, =\, \delta \, =\, 0}\)
En reportant ce dernier résultat dans les équations de (1.16) il vient \(\mathbf{\beta \, = \, -\, \gamma} \)
La forme bilinéaire recherchée est finalement
\[
\mathbf{B(P_{1},P_{2})\,=\, \beta \, (u_{1}\, v_{2}-v_{1}\, u_{2})}\ \ \ \ (1.17)
\]
Les aires sont conservées par le groupe.
L'invariant \(\mathbf{B}\) annule les opérateurs différentiels (1.9) et vérifie \(\mathbf{dB=0}\).
\[
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathbf{-u_{1}\,\dfrac{\partial B}{\partial u_{1}}+v_{1}\,\dfrac{\partial B}{\partial v_{1}}-u_{2}\,\dfrac{\partial B}{\partial u_{2}}+v_{2}\,\dfrac{\partial B}{\partial v_{2}}=0}\\
\mathbf{-v_{1}\,\dfrac{\partial B}{\partial u_{1}}-v_{2}\,\dfrac{\partial B}{\partial u_{2}}=0}\\
\mathbf{-u_{1}\,\dfrac{\partial B}{\partial v_{1}}-u_{2}\,\dfrac{\partial B}{\partial v_{2}}=0}\\
\mathbf{du_{1}\, \dfrac{\partial B}{\partial u_{1}}+dv_{1}\, \dfrac{\partial B}{\partial v_{1}}+du_{2}\, \dfrac{\partial B}{\partial u_{2}}+dv_{2}\, \dfrac{\partial B}{\partial v_{2}}}\ \ \ \ (1.18)
\end{cases}
\end{equation}
\]
l'existence d'une solution non triviale est possible grâce à l'annulation du déterminant :
\[
\mathbf{D=}
\begin{vmatrix}
\mathbf{-u_{1}}&\mathbf{v_{1}}&\mathbf{-u_{2}}&\mathbf{v_{2}}\\
\mathbf{-v_{1}}&\mathbf{0}&\mathbf{-v_{2}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-u_{1}}&\mathbf{0}&\mathbf{-u_{2}}\\
\mathbf{du_{1}}&\mathbf{dv_{1}}&\mathbf{du_{2}}&\mathbf{dv_{2}}
\end{vmatrix}\ \ \ \ (1.19)
\]
Il est judicieux de dévelloper (1.19) par rapport à la dernière ligne :
\[
\mathbf{D=\left (u_{1}\, v_{2}-v_{1}\, u_{2} \right )\, d \, \left (u_{1}\, v_{2}-v_{1}\, u_{2} \right )}\ \ \ \ (1.20)
\]
Donc
\[
\mathbf{B=\, \beta \, (u_{1}\, v_{2}-v_{1}\, u_{2})}\ \ \ \ (1.21)
\]
2.1 Obtention rapide des formes invariantes
La correspondance exponentielle entre le groupe et son algèbre de Lie nous montre que la forme différentielle
\(\mathbf{\omega =x^{-1}\,dx}\ \ (2.1)\) est dans l'algèbre de Lie; Il s'agit d'une forme invariante par translation à gauche.
Le calcul est assez simple, on obtient :
\[\mathbf{\omega =\omega^{a}\,H+\omega^{b}\,X+\omega^{c}\,Y}\,\ \ (2.2)\]
Le triplet de formes \(\mathbf{(\omega^{a},\omega^{b},\omega^{c})}\) est donné par les expressions :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\omega^{a}=\dfrac{(1+b\,c)}{a}\ da-b\ dc}\\
&\mathbf{\omega^{b}=\frac{b\,(1+b\ c)}{a^{\, 2}}\ da+\frac{db}{a}-\frac{b^{\, 2}}{a}\ dc}\\
&\mathbf{\omega^{c}=-c\ da+a\ dc}\ \ \ \ (2.3)
\end{align}
\]
Les trois formes vérifient les relations de Maurer-Cartan :
\[\mathbf{d\omega^{a}=-\,\omega^{b}\wedge \omega^{c}\ ,d\omega^{b}=-2\,\omega^{a}\wedge \omega^{b}\ et\ d\omega^{c}=-2\,\omega^{c}\wedge \omega^{a}}\ \ \ \ (2.4)\]
Les relations ci-dessus sont de la forme :
\[
\mathbf{d\omega ^{k}\,=\,\dfrac{1}{2}\,C^{k}_{ij}\ \ \omega ^{i}\wedge \omega^{j}}\ \ \ \ (2.5)\
\]
Il est possible de condenser les relations (2.4) sous la forme :
\[
\begin{align}
&\mathbf{d\omega=[\omega,\omega]}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ ou}\\
&\mathbf{d\omega=\omega \wedge \omega}\ \ \ \ (2.6)
\end{align}
\]
Le mystérieux produit extérieur \(\mathbf{\omega \wedge \omega}\) (qui peut sembler nul) consiste en la multiplication matricielle
de \(\mathbf{\omega}\) par \(\mathbf{\omega}\) mais on fait un produit extérieur lorsqu'on multiplie deux éléments de matrice.
Le mystérieux crochet de Lie \(\mathbf{[\omega , \omega ]}\) (qui peut sembler nul) consiste en un produit tensoriel sur les formes
\(\mathbf{\omega ^{i}}\) et \(\mathbf{\omega ^{j}}\) (qui devient \(\mathbf{\omega ^{i} \otimes \omega ^{j}}\)) mais on fait un crochet de Lie sur \(\mathbf{L_{i}}\) et \(\mathbf{L_{j}}\) (qui devient \(\mathbf{[L_{i},L_{j}]}\) ).
Il est possible d'avoir les formes (2.3) en développant \(\mathbf{f(x^{-1}(a,b,c)\,x(1+da,db,dc))}\) jusqu'à l'ordre 1 :
\[
\begin{align}
&\mathbf{f(0,0,0)}\\
&+\mathbf{\left (\dfrac{(1+b\,c)}{a}\,da-b\,dc\right )\,\dfrac{\partial f(1,0,0)}{\partial a}}\\
&+\mathbf{\left (\dfrac{b\,(1+b\,c)}{a^{2}}\,da+\dfrac{1}{a}\,db-\dfrac{b^{2}}{a}\,dc\right )\,\dfrac{\partial f(1,0,0)}{\partial b}}\\
&+\mathbf{(-c\,da+a\,dc)\,\dfrac{\partial f(1,0,0)}{\partial c}}\ \ \ \ (2.7)
\end{align}
\]
On obtient donc :
\[
\begin{align}
&\mathbf{f(1,0,0)}\\
&+\mathbf{\omega^{a}\,\dfrac{\partial f(1,0,0)}{\partial a}}\\
&+\mathbf{\omega^{b}\,\dfrac{\partial f(1,0,0)}{\partial b}}\\
&+\mathbf{\omega^{c}\,\dfrac{\partial f(1,0,0)}{\partial c}}\ \ \ \ (2.8)
\end{align}
\]
Considérons le produit extérieur des formes (2.3) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\alpha =\omega^{a}\wedge \omega^{b}\wedge \omega^{c}}\\
&\mathbf{\ \ \ =\dfrac{da\wedge db\wedge dc}{a}}\ \ \ \ (2.9)
\end{align}
\]
Avec les formes invariantes par translation à droite, on obtient le même résultat.
Cette forme \(\mathrm{\alpha}\) est dite modulaire car elle posséde la double invariance par translation (gauche et droite).
Pour information la forme volume est :
\[
\mathbf{\epsilon =\dfrac{da\wedge db\wedge dc}{2\,|a|}}
\]
La mesure d'intégration associée est donc :
\[
\mathbf{\ \ \ =\dfrac{da\,db\,dc}{2\,|a|}}
\]
2.2 Obtention rapide des opérateurs invariants
La base duale des \(\mathbf{\omega ^{i}}\), soit \(\mathbf{(X_{a},X_{b},X_{c})}\), peut s'obtenir
-En mettant les coordonnées des formes dans une ligne du tableau carré d'ordre 4 suivant
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\mathbf{da}&\mathbf{db}&\mathbf{dc}\\
\hline
\mathbf{\omega^{a}\,\rightarrow}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{-b}\\
\hline
\mathbf{\omega^{b}\,\rightarrow}&\mathbf{\dfrac{b(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}&\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\\
\hline
\mathbf{\omega^{c}\,\rightarrow}&\mathbf{-c}&\mathbf{0}&\mathbf{a}\\
\hline
\end{array}\ \ \ \ (2.10)
\]
On extrait la matrice :
\[
\mathbf{M = }
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{-b}\\
\mathbf{\dfrac{b(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}&\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{0}&\mathbf{a}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (2.11)
\]
-En calculant l'inverse de la matrice \(\mathbf{M}\), soit :
\[
\mathbf{M^{-1} = }
\begin{bmatrix}
\mathbf{a}&\mathbf{0}&\mathbf{b}\\
\mathbf{-b}&\mathbf{a}&\mathbf{0}\\
\mathbf{c}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}
\end{bmatrix}\ .\ \ (2.12)
\]
cette dernière matrice provient du tableau carré d'ordre 4 ci dessous :
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{\underset {\downarrow }{X_{a}}}&\mathbf{\underset{\downarrow}{X_{b}}}&\mathbf{\underset {\downarrow }{X_{c}}}& \\
\hline
\mathbf{a}&\mathbf{0}&\mathbf{b}&\mathbf{\dfrac{\partial }{\partial a}}\\
\hline
\mathbf{-b}&\mathbf{a}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{\partial }{\partial b}} \\
\hline
\mathbf{c}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{\dfrac{\partial }{\partial c}}\\
\hline
\end{array}\ \ \ \ (2.13)
\]
-Chaque colonne de la matrice inverse donne un élément de la base duale.
Ce qui donne :
\[
\begin{align}
&\mathbf{X_{a}=a\ \dfrac{\partial}{\partial a}-b\ \dfrac{\partial}{\partial b}+c\ \dfrac{\partial }{\partial c}}\\
&\mathbf{X_{b}=a\ \dfrac{\partial}{\partial b}}\\
&\mathbf{X_{c}=b\ \dfrac{\partial}{\partial a}+\dfrac{(1+b\,c)}{a}\ \dfrac{\partial }{\partial c}}\ \ \ \ (2.14)
\end{align}
\]
Les trois opérateurs ci-dessus vérifient les relations de commutation de Lie :
\[\mathbf{[X_{a},X_{b}]=2\,X_{b}\ ,[X_{a},X_{c}]=-2\,X_{c}\ et\ [X_{b},X_{\small c}]=X_{a}}\ .\ \ (2.15)
\]
Les relations ci-dessus sont de la forme :
\[
\mathbf{\left [X_{i},X_{j}\right ]\,=\,C^{k}_{ij}\,X_{k}}\ \ \ \ (2.16)
\]
Il est possible d'avoir les opérateurs (2.14) en développant \(\mathbf{f(x(a,b,c)\,x(1+da,db,dc))}\) jusqu'à l'ordre 1, on obtient :
\[
\begin{align}
&\mathbf{f(a,b,c)}\\
&+\mathbf{(a\,da+b\,dc)\,\dfrac{\partial f(a,b,c)}{\partial a}}\\
&+\mathbf{(-b\,da+a\,db)\,\dfrac{\partial f(a,b,c)}{\partial b}}\\
&+\mathbf{(c\,da+\dfrac{(1+b\,c)}{a}\,dc)\,\dfrac{\partial f(a,b,c)}{\partial c}}\ \ \ \ (2.17)
\end{align}
\]
Il suffit de regrouper l'expression ci-dessus suivant les différentielles de base \(\mathbf{da}\), \(\mathbf{da}\) et \(\mathbf{dc}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{f(a,b,c)}\\
&+\mathbf{da\,X_{a}\,f(a,b,c)}\\
&+\mathbf{db\,X_{b}\,f(a,b,c)}\\
&+\mathbf{dc\,X_{c}\,f(a,b,c)}\ \ \ \ (2.18)
\end{align}
\]
Les relations (2.4) et (2.8) sont une conséquence de la propriété d'associativité du groupe.
La méthode utilisée pour obtenir les opérateurs à partir des formes permet de vérifier trivialement :
\[
\mathbf{<\omega ^{i}|X_{j}>=\delta ^{i}_{j}}\ \ \ \ (2.19)
\]
Remarques
-En permutant \(\mathbf{x^{-1}}\) et \(\mathbf{dx}\) dans la relation (2.1) on obtient des formes différentielles invariantes par
translation à droite. La base duale correspondante sera formée d'opérateurs différentiels eux aussi
invariants par translation à droite.
Les constantes de structure ( coefficients du second membre)présentes dans (2.4) et (2.10) sont changées de signe.
-Les deux types d'opérateurs (gauche et droite) commutent entre eux.
-Il faut interpréter les crochets de Lie \(\mathbf{[\overset{g}{U},\overset{g}{V}]}\), présents dans les relations (2.8), comme l'effet à l'ordre 1 d'une
translation à droite orchestrée par \(\mathbf{\overset{g}{U}}\) sur \(\mathbf{\overset{g}{V}}\). Il ne faut pas oublier que \(\mathbf{\overset{g}{U}}\) et \(\mathbf{\overset{g}{V}}\) sont invariantes par translation à gauche!
L'opérateur de translation à droite est donc du type
\[
\mathbf{\LARGE{.}\ \mapsto \ \left [\overset{g}{U},\ \LARGE{.}\ \right ]}
\]
-Pouvez vous expliquer pourquoi \(\mathbf{\left [\overset{g}{X_{i}},\overset{d}{X_{j}}\right ]}\) est nul?
-L'invariance à gauche de \(\mathbf{\omega = x^{-1}\, dx}\) se déduit de \(\mathbf{ (a\,x)^{-1}\, d\, (a\, x) = x^{-1}\, a^{-1}\, a\, dx}\) avec \(\mathbf{a^{-1}\, a = 1}\).
-L'invariance à droite de \(\mathbf{\omega = dx\, x^{-1}}\) se déduit de \(\mathbf{d\, (x\, a)\,(x\,a)^{-1} = dx\, a\, a^{-1}\, x^{-1}}\) avec \(\mathbf{a\, a^{-1} = 1}\).
2.3 Mélange gauche droite
Les formes \(\mathbf{\overset {g}{\omega ^{i}}(x)}\) et \(\mathbf{\overset {d}{\omega ^{i}}(x)}\) sont respectivement invariantes par translation
à gauche (\(\mathbf{x\, \longmapsto a\, x}\)) et translation à droite (\(\mathbf{x\, \longmapsto x\, a}\)). Ces formes
permettent d'écrire les relations de Maurer-Cartan(en rapport avec la loi de groupe) et s'échangent sous l'action de l'inversion (\(\mathbf{x\, \longmapsto x^{-1}}\)) :
\(\mathbf{\overset {g}{\omega ^{i}}(x^{-1}) = -\overset {d}{\omega ^{i}}(x)}\) et \(\mathbf{\overset {d}{\omega ^{i}}(x^{-1}) = -\overset {g}{\omega ^{i}}(x)}\).
Malheureusement ces formes n'ont pas de comportement précis sous l'effet des automorphismes (\(\mathbf{x\, \longmapsto a^{-1}\, x\, a}\)).
Pour y remédier nous allons mélanger les deux types de formes en définissant :
\[
\mathbf{\omega _{+}(x) \, =\dfrac{1}{2}\, \left ( \overset {g}{\omega }(x) + \overset {d}{\omega }(x) \right )}
\]
\[
\mathbf{\omega _{-}(x) \, =\dfrac{1}{2}\, \left ( \overset {g}{\omega }(x) - \overset {d}{\omega }(x) \right )}\ \ \ \ (2.20)
\]
Commençons par l'étude des propriétés de la forme plus :
\[ \mathbf{\omega _{+}(x) \, =\dfrac{1}{2}\, \left (x^{-1}\, dx +dx\, x^{-1}\right )}\ \ \ \ (2.21) \] \[ \begin{align} \mathbf{\omega _{+}(x^{-1}) \, =\, }&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left (x\, d\, x^{-1} +d\, x^{-1}\, x\right )}\\ \mathbf{\, =\, }&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left (-\, dx\, x^{-1}-x^{-1}\, dx\, \right )}\\ \mathbf{\, =\, }&\mathbf{-\dfrac{1}{2}\, \left ( \overset {d}{\omega }(x) + \overset {g}{\omega }(x) \right )}\\ \mathbf{\, =\, }&\mathbf{-\, \omega _{+}(x)}\ \ \ \ (2.22) \end{align} \] \[ \begin{align} \mathbf{\omega _{+}(a\,x\, a^{-1}) \, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left (\left (a\,x\, a^{-1} \right )^{-1}\, d\,\left (a\,x\, a^{-1} \right )+d\,\left (a\,x\, a^{-1} \right )\, \left (a\,x\, a^{-1} \right )^{-1}\right )}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left ( a\, x^{-1}\, a^{-1}\, a\, dx\, a^{-1}\, +a\,dx\,a^{-1}\, a\, x^{-1}\, a^{-1}\right )}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{a \left (\, \dfrac{1}{2}\, \left ( x^{-1}\, dx+\, dx\, x^{-1} \right )\, \right )a^{-1}}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{ a\, \omega _{+}(x)\,a^{-1}}\ \ \ \ (2.23) \end{align} \]
Terminons par l'étude des propriétés de la forme moins :
\[ \mathbf{\omega _{-}(x) \, =\dfrac{1}{2}\, \left (x^{-1}\, dx -dx\, x^{-1}\right )}\ \ (2.24) \] \[ \begin{align} \mathbf{\omega _{-}(x^{-1}) \, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left (x\, d\, x^{-1} -d\, x^{-1}\, x\right )}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left (-\, dx\, x^{-1}+x^{-1}\, dx\, \right )}\ ,\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left ( \overset {g}{\omega }(x) - \overset {d}{\omega }(x) \right )}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{ \omega _{-}(x)}\ \ \ \ (2.25) \end{align} \] \[ \begin{align} \mathbf{\omega _{-}(a\,x\, a^{-1}) \, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left (\left (a\,x\, a^{-1} \right )^{-1}\, d\,\left (a\,x\, a^{-1} \right )-d\,\left (a\,x\, a^{-1} \right )\, \left (a\,x\, a^{-1} \right )^{-1}\right )}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{\dfrac{1}{2}\, \left ( a\, x^{-1}\, a^{-1}\, a\, dx\, a^{-1}\, -a\,dx\,a^{-1}\, a\, x^{-1}\, a^{-1}\right )}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{a \left (\, \dfrac{1}{2}\, \left ( x^{-1}\, dx-\, dx\, x^{-1} \right )\, \right )a^{-1}}\\ \mathbf{\, =\,}&\mathbf{a\, \omega _{-}(x)\,a^{-1}}\ \ \ \ (2.26) \end{align} \]
Retour vers le haut de page3.1 Produit scalaire sur l'algèbre de Lie
Soient \(\mathbf{L_{1}(h_{1},x_{1},y_{1})}\) et \(\mathbf{L_{2}(h_{2},x_{2},y_{2})}\) deux éléments de l'algèbre, on définit le produit scalaire par :
\[
\mathbf{\big\langle\,L_{1}| L_{2}\,\big\rangle = \dfrac{1}{2}\,trace(L_{1}L_{2})}\ \ \ \ (3.1)
\]
La grandeur ci-dessus est invariante par l'application adjointe(\(\mathbf{L\longmapsto x\,L\,x^{-1}}\)).
Le calcul donne :
\[
\mathbf{\big\langle\,L_{1}| L_{2}\,\big\rangle = h_{1}h_{2} + \dfrac{1}{2}\, x_{1}y_{2} + \dfrac{1}{2}\, y_{1}x_{2}}\ \ \ \ (3.2)
\]
La matrice de la forme bilinéaire correspondante est donc :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (3.3)\]
Le produit scalaire permet de capturer les formes invariantes avec le sens suivant :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\omega^{a}=\big\langle\,\omega| H\,\big\rangle}\\
&\mathbf{\omega^{b}=\big\langle\,\omega| X\,\big\rangle}\\
&\mathbf{\omega^{c}=\big\langle\,\omega| Y\,\big\rangle}\ \ \ \ (3.4)
\end{align}
\]
Muni de ce produit scalaire, il est possible de définir une base réciproque engendrée par le triplet (\(\mathbf{H^{*}}\), \(\mathbf{X^{*}}\) ,\(\mathbf{Y^{*}}\)).
Utilisons la méthode générale :
\(\mathbf{\big\langle\,H^{*}| H\,\big\rangle = 1\quad}\) \(\mathbf{\big\langle\,H^{*}| X\,\big\rangle = 0\quad}\) \(\mathbf{\big\langle\,H^{*}| Y\,\big\rangle = 0}\)
\(\mathbf{\big\langle\,X^{*}| H\,\big\rangle = 0\quad}\) \(\mathbf{\big\langle\,X^{*}| X\,\big\rangle = 1\quad}\) \(\mathbf{\big\langle\,X^{*}| Y\,\big\rangle = 0}\)
\(\mathbf{\big\langle\,Y^{*}| H\,\big\rangle = 0\quad}\) \(\mathbf{\big\langle\,Y^{*}| X\,\big\rangle = 0\quad}\) \(\mathbf{\big\langle\,Y^{*}| Y\,\big\rangle = 1}\ \ \ \ (3.5)\)
Le lecteur fera le calcul et obtiendra :
\[
\mathbf{H^{*}=H \quad X^{*}= 2\, Y \quad Y^{*}= 2\, X}\ \ \ \ (3.6)
\]
Dans notre cas particulier d'algèbre pseudo-euclidienne,on va imiter les expressions ci-dessous valables dans un espace euclidien de dimension trois :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\vec{e_{1}}^{*}=\dfrac{\vec{e_{2}}\times\vec{e_{3}}}{|\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}}|}}\\
&\mathbf{\vec{e_{2}}^{*}=\dfrac{\vec{e_{3}}\times\vec{e_{1}}}{|\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}}|}}\\
&\mathbf{\vec{e_{3}}^{*}=\dfrac{\vec{e_{1}}\times\vec{e_{2}}}{|\vec{e_{1}},\vec{e_{2}},\vec{e_{3}}|}}\ \ \ \ (3.7)
\end{align}
\]
La transcription donne :
\[
\begin{align}
&\mathbf{H^{*}=\dfrac{[X,Y]}{\dfrac{1}{2} \, trace\left(H[X,Y]\right )}= H}\\
&\mathbf{X^{*}=\dfrac{[Y,H]}{\dfrac{1}{2} \, trace\left(H[X,Y]\right )}= 2\, Y}\\
&\mathbf{Y^{*}=\dfrac{[H,X]}{\dfrac{1}{2} \, trace\left(H[X,Y]\right )}= 2\, X}\ \ \ \ (3.8)
\end{align}
\]
3.2 Tenseur métrique sur le groupe de Lie
On demande au \(\mathbf{ds^{2}}\) d'être invariant par les translations, automorphismes et anti-automorphismes. Le bon candidat est :
\[
\mathbf{ds^{2}=-\, \dfrac{1}{2}\,trace \left (dx\,dx^{-1} \right )}\ \ \ \ (3.9)
\]
Le signe moins permet de retrouver le produit scalaire sur l'algèbre de Lie. Il suffit de faire \(\mathbf{x\sim 1+L}\) et \(\mathbf{x^{-1}\sim 1-L}\) dans (3.9).
Après queques petits calculs, on obtient :
\[
\mathbf{ds^{2}=\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da^{2}-\dfrac{c}{a}\,da\,db-\dfrac{b}{a}\,da\,dc + db\,dc}\ \ \ \ (3.10)
\]
La matrice du tenseur correspondant est donc :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}\\
\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (3.11)\]
Sachant que \(\mathbf{x^{-1}x=1}\) alors \(\mathbf{dx^{-1}x+x^{-1}dx=0}\) et donc \(\mathbf{dx^{-1}=-x^{-1}dx\,x^{-1}}\).
Reportons cette dernière relation dans la définition (3.9 :
\[
\mathbf{ds^{2}=-\dfrac{1}{2}\,trace \left (dx\,\left (-x^{-1}dx\,x^{-1}\right ) \right )\ .}
\]
Simplifions les signes et utilisons la propriété suivante de la trace, \(\mathbf{trace(A)=trace(P^{-1}\,A\,P)}\), avec \(\mathbf{P=x}\)
\[
\mathbf{ds^{2}= \dfrac{1}{2}\,trace \left (\left (x^{-1}dx \right )^{2} \right )\ .}
\]
En se rappelant de (2.1) et (2.2), il vient :
\[\mathbf{ds^{2}= \dfrac{1}{2}trace \left (\begin{bmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{-\omega ^{a}}\\
\end{bmatrix}^{2} \right )}\]
Soit finalement :
\[
\mathbf{ds^{2}= \omega ^{a\,^{2}}+\omega ^{b}\,\omega ^{c}}\ \ \ \ (3.12)
\]
Remarques
-L'utilistion des formes invariantes à droite donne le même résultat.
-Si on pose \(\mathbf{ds^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}\) (voir 3.11) alors \(\mathbf{g_{ij}= \big\langle \dfrac{\partial}{\partial x^{i}} |\dfrac{\partial}{\partial x^{j}}\big\rangle}\).
-Si on pose \(\mathbf{ds^{2}=g_{ij}\,\omega^{i}\,\omega^{j}}\) (voir 3.3) alors \(\mathbf{g_{ij}= \big\langle X_{i}|X_{j}\big\rangle}\).
3.3 Coordonnées normales
Soit \(\mathbf{L=\alpha\,H+\beta\,X+\gamma\,Y}\) et sachant que \(\mathbf{x=exp(L)}\), la relation (1.11) permet d'écrire :
\[
\mathbf{x=ch\left ( \sqrt{\alpha ^{2}+\beta\,\gamma}\right)
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}\,
+\dfrac{sh\left ( \sqrt{\alpha ^{2}+\beta\,\gamma}\right)}{\sqrt{\alpha ^{2}+\beta\,\gamma}}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\alpha}&\mathbf{\beta}\\
\mathbf{\gamma}&\mathbf{-\alpha}
\end{bmatrix}}\ \ \ \ (3.13)
\]
La diagonalisation du tenseur fixe (3.3) se ferait en faisant un premier changement de variable
\(\mathbf{\beta = u-v}\) et \(\mathbf{\gamma = u+v}\), ce qui donne
\[
\mathbf{x=ch\left ( \sqrt{\alpha ^{2} +u^{2}-v^{2}}\right)
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}\,
+\dfrac{sh\left ( \sqrt{\alpha ^{2} +u^{2}-v^{2}}\right )}{\sqrt{\alpha ^{2}+u^{2}-v^{2}}}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\alpha}&\mathbf{u-v}\\
\mathbf{u+v}&\mathbf{-\alpha}
\end{bmatrix}}\ \ \ \ (3.14)
\]
Posons maintenant :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{\rho =\sqrt{\alpha ^{2}+u^{2}-v^{2}}}\\
&\mathbf{x_{1}=\dfrac{sh(\rho)}{\rho}\,\alpha}\\
&\mathbf{x_{2}=\dfrac{sh(\rho)}{\rho}\,u}\\
&\mathbf{x_{3}=\dfrac{sh(\rho)}{\rho}\,v}\ \ \ \ (3.15)
\end{align}
\right.
\]
Les expressions de \(\mathbf{x}\) et de \(\mathbf{x^{-1}}\) deviennent plus simples :
\[
\mathbf{\,\,\,\,\,\,x=ch(\rho)
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}\,
+
\begin{bmatrix}
\mathbf{x_{1}}&\mathbf{x_{2}-x_{3}}\\
\mathbf{x_{2}+x_{3}}&\mathbf{-x_{1}}
\end{bmatrix}
}
\]
\[
\mathbf{x^{-1}=ch(\rho)
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}\,
-
\begin{bmatrix}
\mathbf{x_{1}}&\mathbf{x_{2}-x_{3}}\\
\mathbf{x_{2}+x_{3}}&\mathbf{-x_{1}}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (3.16)
\]
Les relations suivantes nous seront utiles pour calculer le tenseur métrique :
\[
\mathbf{sh^{2}(\rho)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}
\]
\[
\mathbf{ch^{2}(\rho)=1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}\ \ \ \ (3.17)
\]
Calculons les différentielles de \(\mathbf{x}\) et de \(\mathbf{x^{-1}}\)
\[
\mathbf{\,\,\,\,\,\,dx=sh(\rho)\,d\rho
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}\,
+
\begin{bmatrix}
\mathbf{dx_{1}}&\mathbf{dx_{2}-dx_{3}}\\
\mathbf{dx_{2}+dx_{3}}&\mathbf{-dx_{1}}
\end{bmatrix}
}
\]
\[
\mathbf{dx^{-1}=sh(\rho)\,d\rho
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}\,
-
\begin{bmatrix}
\mathbf{dx_{1}}&\mathbf{dx_{2}-dx_{3}}\\
\mathbf{dx_{2}+dx_{3}}&\mathbf{-dx_{1}}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (3.18)
\]
Le produit des différentielles ci-dessus se calcule bien :
\[
\begin{align}
&\mathbf{dx\,dx^{-1}=sh^{2}(\rho)d\rho\,^{2}-\begin{bmatrix}
\mathbf{dx_{1}}&\mathbf{dx_{2}-dx_{3}}\\
\mathbf{dx_{2}+dx_{3}}&\mathbf{-dx_{1}}
\end{bmatrix}^{2}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left (sh^{2}(\rho)d\rho\,^{2}-\left (dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2} \right )\right )
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}
\end{bmatrix}}\ \ \ \ (3.19)
\end{align}
\]
Avec la définition
\[
\mathbf{ds^{2}=-\dfrac{1}{2}trace \left (dx\,dx^{-1} \right )\,,}
\]
nous obtenons :
\[
\mathbf{ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}-sh^{2}(\rho)d\rho\,^{2}}\ \ \ \ (3.20)
\]
La différentiation de la première relation de (3.17) et l'utilisation de la deuxième relation de (3.17) permettent d'écrire :
\[
\mathbf{sh^{2}(\rho)\,d\rho\,^{2}=\dfrac{\left (x_{1}\,dx_{1}+x_{2}\,dx_{2}-x_{3}\,dx_{3}\right )\,^{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}\ \ \ \ (3.21)
\]
Il suffit de substituer (3.21) dans (3.20)
\[
\mathbf{ds^{2}= \underbrace { dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-dx_{3}^{2}}_{terme\ pseudo-euclidien}- \underbrace {\dfrac{\left (x_{1}\,dx_{1}+x_{2}\,dx_{2}-x_{3}\,dx_{3}\right )\,^{2}}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}_{terme\, de\, courbure}}\ \ \ \ (3.22)
\]
En dévellopant le carré de (3.22) on obtient la nouvelle matrice du tenseur métrique :
\[
\mathbf{[g]=\dfrac{1}{1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{1+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}&\mathbf{-x_{1}\,x_{2}}&\mathbf{x_{1}\,x_{3}}\\
\mathbf{-x_{2}\,x_{1}}&\mathbf{1+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}}&\mathbf{x_{2}\,x_{3}}\\
\mathbf{x_{3}\,x_{1}}&\mathbf{x_{3}\,x_{2}}&\mathbf{-1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (3.23)
\]
3.4 Aspect Clifford
Ordonnons \(\mathbf{\overset {g}{\omega}}\) suivant les différentielles des coordonnées de base \(\mathbf{d\,x^{i}}\) :
\[
\mathbf{\overset {g}{\omega} = \overset {g}{M_{a}}\, da + \overset {g}{M_{b}}\, db + \overset {g}{M_{c}}\, dc}\ \ \ \ (3.24)
\]
Le lecteur calculera les matrices \(\mathbf{M_{i}}\) et obtiendra :
\[
\mathbf{\overset {g}{M_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{\dfrac{b\,(1 + b\, c )}{a^{2}}}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix},\
\mathbf{\overset {g}{M_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{\overset {g}{M_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{-b}&\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{bmatrix}
\ \ \ \ (3.25)\]
On peut vérifier les relations suivantes :
\(\mathbf{g_{ij} = \dfrac{1}{2}\, trace \left (\overset {g}{M_{i}}\, \overset {g}{M_{j}} \right )}\) et \(\mathbf{\{\overset {g}{M_{i}},\overset {g}{M_{j}} \} = 2\, g_{ij}\, I_{2}}\) (3.26)
Il est possible d'obtenir le même résultat avec la forme invariante à droite.
4.1 Recherche des opérateurs
Par dérivation partielle des relations (1.2) en l'élément neutre \(\mathbf{e=(1,0,0)}\), on peut obtenir
les opérateurs du groupe invariants par translation à gauche :
\[
\mathbf{
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial c^{'}}}
\end{bmatrix}_{x^{'}=e}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{a}&\mathbf{0}&\mathbf{b}\\
\mathbf{-b}&\mathbf{a}&\mathbf{0}\\
\mathbf{c}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (4.1)
\]
Il suffit de lire les colonnes de la matrice :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset{g}{X_{a}}=a\ \dfrac{\partial}{\partial a}-b\ \dfrac{\partial}{\partial b}+c\ \dfrac{\partial }{\partial c}}\\
&\mathbf{\overset{g}{X_{b}}=a\ \dfrac{\partial}{\partial b}}\\
&\mathbf{\overset{g}{X_{c}}=b\ \dfrac{\partial}{\partial a}+\dfrac{(1+b\,c)}{a}\ \dfrac{\partial }{\partial c}}\ \ \ \ (4.2)
\end{align}
\]
Pour obtenir les opérateurs du groupe invariants par translation à droite, il faut faire le
travail précédent avec la relation \(\mathbf{x^{"}=x^{'}\,x}\) qui donne :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=a^{'}\,a+b^{'}\,c}\\
&\mathbf{b^{''}=a^{'}\,b+\dfrac{b^{'}\,(1+b\,c)}{a}}\\
&\mathbf{c^{''}=c^{'}\,a+\dfrac{(1+b^{'}\,c^{'})\,c}{a^{'}}}\ \ \ \ (4.3)
\end{align}
\right.
\]
La dérivation partielle de (4.3) donne :
\[
\mathbf{
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial c^{'}}}
\end{bmatrix}_{x^{'}=e}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{a}&\mathbf{c}&\mathbf{0}\\
\mathbf{b}&\mathbf{\dfrac{\left (1+b\,c\right )}{a}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{0}&\mathbf{a}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (4.4)
\]
Il suffit de lire les colonnes de la matrice :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset{d}{X_{a}}=a\ \dfrac{\partial}{\partial a}+b\ \dfrac{\partial}{\partial b}-c\ \dfrac{\partial }{\partial c}}\\
&\mathbf{\overset{d}{X_{b}}=c\ \dfrac{\partial}{\partial a}+\dfrac{\left (1+b\,c\right)}{a}\,\dfrac{\partial}{\partial b}}\\
&\mathbf{\overset{d}{X_{c}}=a\ \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (4.5)
\end{align}
\]
4.2 Recherche des formes
Pour obtenir les formes du groupe invariantes par translation à gauche, il faut utiliser la relation \(\mathbf{x^{"}=x^{-1}\,x^{'}}\) :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=\dfrac{(1+b\,c)}{a}\,a^{'}-b\,c^{'}}\\
&\mathbf{b^{''}=\dfrac{(1+b\,c)}{a}\,b^{'}-\dfrac{b\,(1+b^{'}\,c^{'})}{a^{'}}}\\
&\mathbf{c^{''}=-c\,a^{'}+a\,c^{'}}\ \ \ \ (4.6)
\end{align}
\right.
\]
Dérivons partiellement (4.6) par rapport à \(\mathbf{x^{'}}\) au point \(\mathbf{x}\) :
\[
\mathbf{
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial c^{'}}}
\end{bmatrix}_{x^{'}=x}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{-b}\\
\mathbf{\dfrac{b\,(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}&\mathbf{\dfrac{-b^{2}}{a}}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{0}&\mathbf{a}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (4.7)
\]
Il suffit de lire les lignes de la matrice :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset{g}{\omega^{a}}=\dfrac{(1+b\,c)}{a}\ da-b\ dc}\\
&\mathbf{\overset{g}{\omega^{b}}=\frac{b\,(1+b\ c)}{a^{\, 2}}\ da+\frac{db}{a}-\frac{b^{\, 2}}{a}\ dc}\\
&\mathbf{\overset{g}{\omega^{c}}=-c\ da+a\ dc}\ \ \ \ (4.8)
\end{align}
\]
Pour obtenir les formes du groupe invariantes par translation à droite, il faut utiliser la relation \(\mathbf{x^{"}=x^{'}\,x^{-1}}\) :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{a^{''}=a^{'}\,\dfrac{(1+b\,c)}{a}-b^{'}\,c}\\
&\mathbf{b^{''}=-a^{'}\,b+b^{'}\,a}\\
&\mathbf{c^{''}=c^{'}\,\dfrac{(1+b\,c)}{a}-\dfrac{(1+b^{'}\,c^{'})}{a^{'}}\,c}\ \ \ \ (4.9)
\end{align}
\right.
\]
Dérivons partiellement (4.9) par rapport à \(\mathbf{x^{'}}\) au point \(\mathbf{x}\) :
\[
\mathbf{
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial a^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial b^{''}}{\partial c^{'}}}\\
\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial a^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial b^{'}}}&\mathbf{\dfrac{\partial c^{''}}{\partial c^{'}}}
\end{bmatrix}_{x^{'}=x}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{-c}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-b}&\mathbf{a}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\dfrac{c\,(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{-\dfrac{c^{2}}{a}}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}
\end{bmatrix}
}\ \ \ \ (4.10)
\]
Il suffit de lire les lignes de la matrice :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\overset{d}{\omega^{a}}=\dfrac{(1+b\,c)}{a}\ da-c\ db}\ ,\\
&\mathbf{\overset{d}{\omega^{b}}=-b\ da+a\ db}\ ,\\
&\mathbf{\overset{d}{\omega^{c}}=\dfrac{c\,(1+b\,c)}{a^{2}}\ da-\dfrac{c^{2}}{a}\ db+\dfrac{1}{a}\ dc}\ \ \ \ (4.11)
\end{align}
\]
4.3 Notion de vecteur infinitésimal sur le groupe
Le produit de deux éléments voisins du groupe sera assimilé à un petit vecteur affine, ce dernier
possèdera une traduction évidente dans l'algèbre de Lie.
Pour produire des formes invariantes par translation à gauche, la correspondance est la suivante :
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\mathbf{Espace\,affine}&\mathbf{Alg\grave{e}bre\,de\,Lie}\\
\hline
\mathbf{\overrightarrow{MM^{'}}}&\mathbf{x^{-1}\,x^{'}-e} \\
\hline
\mathbf{\overrightarrow{M^{'}M^{''}}}&\mathbf{x^{'}\,^{-1}\,x^{''}-e} \\
\hline
\mathbf{\overrightarrow{MM^{''}}} &\mathbf{x^{-1}\,x^{''}-e} \\
\hline
\mathbf{\overrightarrow{MM^{'}}+\overrightarrow{M^{'}M^{''}}}&\mathbf{x^{-1}\,\underbrace{x^{'}\,x^{'}\,^{-1}}_{\text{e}}\,x^{''}-e} \\
\hline
\end{array}
\]
Utilisons cette idée pour produire la forme de Cartan invariante par translation à gauche.
Le petit vecteur \(\mathbf{\overrightarrow{M(a,b,c)M(a+da,b+db,c+dc)}}\) devient :
\[
\mathbf{x^{-1}(a,b,c)x(a+da,b+db,c+dc)-e}
\]
\[
\mathbf{x^{-1}(a,b,c)(x(a,b,c)+dx(a,b,c))-e}
\]
\[
\mathbf{x^{-1}(a,b,c)dx(a,b,c)}
\]
On reconnait \(\mathbf{\overset{g}{\omega}}\).
Pour produire des formes invariantes par translation à droite, la correspondance est la suivante :
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\mathbf{Espace\,affine}&\mathbf{Alg\grave{e}bre\,de\,Lie}\\
\hline
\mathbf{\overleftarrow{M^{'}M}}&\mathbf{x^{'}\,x^{-1}-e} \\
\hline
\mathbf{\overleftarrow{M^{''}M^{'}}}&\mathbf{x^{''}\,x^{'}\,^{-1}-e} \\
\hline
\mathbf{\overleftarrow{M^{''}M}} &\mathbf{x^{''}\,x^{-1}-e} \\
\hline
\mathbf{\overleftarrow{M^{''}M^{'}}+\overleftarrow{M^{'}M}}&\mathbf{x^{''}\,\underbrace{x^{'}\,^{-1}\,x^{'}}_{\text{e}}\,x^{-1}-e} \\
\hline
\end{array}
\]
Utilisons cette idée pour produire la forme de Cartan invariante par translation à droite.
Le petit vecteur \(\mathbf{\overleftarrow{M(a+da,b+db,c+dc)M(a,b,c)}}\) devient :
\[
\mathbf{x(a+da,b+db,c+dc)x^{-1}(a,b,c)-e}
\]
\[
\mathbf{(x(a,b,c)+dx(a,b,c))x^{-1}(a,b,c)-e}
\]
\[
\mathbf{dx(a,b,c)x^{-1}(a,b,c)}
\]
On reconnait \(\mathbf{\overset{d}{\omega}}\).
Dans cette optique on peut se demander ce que devient \(\mathbf{\overrightarrow{M\,M^{'}}\times \overrightarrow{M\,M^{"}}}\) ou M' et M" sont deux
points voisins de M mais avec des dérivations différentes. La transcription donne :
\[
\mathbf{\left [ x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + dM \right )-e,x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + \delta \,M \right )-e\right ]}
\]
soit :
\[
\begin{align}
&\mathbf{x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + dM \right )x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + \delta M \right )-x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + dM \right )}\\
&\mathbf{-x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + \delta M \right ) + e}\\
&\mathbf{-x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + \delta M \right )x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + dM \right )+x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + \delta M \right )}\\
&\mathbf{x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + dM \right ) - e}
\end{align}
\]
Après simplification et factorisation il vient :
\[
\mathbf{x^{-1}\left (M \right )\left ( x\left (M + dM \right )x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M + \delta M \right )-
x\left (M + \delta M \right )x^{-1}\left (M \right )\, x\left (M +dM \right ) \right )}
\]
Développons au premier ordre :
\[
\mathbf{\ \ x^{-1}\left (M \right )\left (x\left (M \right )+dx \left (M \right )\right )x^{-1}\left (M \right )\left (x \left (M \right )+ \delta x \left (M \right ) \right )
-x^{-1}\left (M \right )\left (x\left (M \right )+ \delta x \left (M \right )\right )x^{-1}\left (M \right )\left (x \left (M \right )+ dx \left (M \right ) \right )}
\]
On reconnaît :
\[
\mathbf{\left (e+\omega \left (d \right ) \right )\, \left (e+\omega \left (\delta \right )\right ) -\left (e+\omega \left (\delta \right ) \right )\, \left (e+\omega \left (d \right )\right ) }
\]
finalement :
\[
\mathbf{\left [ \omega \left(d \right ),\omega \left(\delta \right ) \right ]}
\]
Les fins connaisseurs voient la 2-forme de Lagrange \(\mathbf{\nabla \omega \, (d,\delta)}\).
Retour vers le haut de page5.1 Introduction
La représentation adjointe est définie par \(\mathbf{Ad_{x}(L)=x\,L\,x^{-1}}\). La relation (6.1) montre
que cette quantité est dans l'algèbre de Lie. Il s'agit donc d'une application linéaire de l'algèbre
vers elle même.
Le calcul se présente sous la forme :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{a}&\mathbf{b}\\
\mathbf{c}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}\\
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}&\mathbf{q}\\
\mathbf{r}&\mathbf{-p}\\
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{-b}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{a}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (5.1)
\]
En posant :
\[\mathbf{L^{'}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{p^{'}}&\mathbf{q^{'}}\\
\mathbf{r^{'}}&\mathbf{-p^{'}}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (5.2)\]
Après quelques calculs,il vient :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{p^{'}}\\
\mathbf{q^{'}}\\
\mathbf{r^{'}}
\end{bmatrix}
=
\underbrace{
\begin{bmatrix}
\mathbf{(1+2\,b\,c)}&\mathbf{-a\,c}&\mathbf{\dfrac{b\,(1+b\,c)}{a}}\\
\mathbf{-2\,a\,b}&\mathbf{a^{2}}&\mathbf{-b^{2}}\\
\mathbf{\dfrac{2\,c\,(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{-c^{2}}&\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)^{2}}{a^{2}}}
\end{bmatrix}}_{\mathbf{[Ad_{x}]}}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}\\
\mathbf{q}\\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (5.3)
\]
L'ensemble des \(\mathbf{Ad_{x}}\) constitue lui même un groupe.
Remplaçons \(\mathbf{(a,b,c)}\) par \(\mathbf{(1+\Delta a,\Delta b,\Delta c)}\)dans (5.3) et développons à l'ordre 1 :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{p^{'}}\\
\mathbf{q^{'}}\\
\mathbf{r^{'}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}\\
\mathbf{q}\\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{-\Delta c}&\mathbf{\Delta b}\\
\mathbf{-2\,\Delta b}&\mathbf{2\,\Delta a}&\mathbf{0}\\
\mathbf{2\,\Delta c}&\mathbf{0}&\mathbf{-2\,\Delta a}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}\\
\mathbf{q}\\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (5.4)
\]
Introduisons trois opérateurs différentiels notés \(\mathbf{\hat H}\), \(\mathbf{\hat X}\) et \(\mathbf{\hat X}\) tels que :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{p^{'}}\\
\mathbf{q^{'}}\\
\mathbf{r^{'}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}\\
\mathbf{q}\\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}
-
\mathbf{(\Delta a\,\hat H+\Delta b\,\hat X+\Delta c\,\hat Y)}
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}\\
\mathbf{q}\\
\mathbf{r}
\end{bmatrix}\ \ \ (5.5)
\]
La comparaison de (5.4) et (5.5) permet d'obtenir rapidement :
\[
\begin{align}
&\mathbf{\hat H=-2\,(q\,\dfrac{\partial}{\partial q}-r\,\dfrac{\partial}{\partial r})}\\
&\mathbf{\hat X=-r\,\dfrac{\partial}{\partial p}+2\,p\,\dfrac{\partial}{\partial q}}\\
&\mathbf{\hat Y=q\,\dfrac{\partial}{\partial p}-2\,p\,\dfrac{\partial}{\partial r}}\ _ \ \ (5.6)
\end{align}
\]
Par analogie avec la mécanique quantique, nous allons montrer que les opérateurs de (5.6) sont
les composantes d'un vecteur moment (type angulaire) dont la forme classique est donnée par :
\[
\mathbf{\vec{M}=\,\vec{R}\,\times \,\vec{P}}\ \ \ \ (5.7)
\]
La transcription dans l'algèbre de Lie est :
\[
\mathbf{M=[\underbrace {R}_{position},\underbrace {P}_{impulsion}]}\ \ \ \ (5.8)
\]
Avec :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{R=p\,H+q\,X+r\,Y}\\
&\mathbf{P=\left (-\dfrac{\partial}{\partial p}\right )\,H^{*}+\left (-\dfrac{\partial}{\partial q}\right )\,X^{*}+\left (-\dfrac{\partial}{\partial r}\right )\,Y^{*}}\ \ \ \ (5.9)
\end{align}
\right.
\]
D'après (3.8),on en déduit :
\[
\mathbf{P =\, -\dfrac{\partial}{\partial p}\,H-\dfrac{\partial}{\partial q}\,2\,Y-\dfrac{\partial}{\partial r}\,2\, X}\ \ \ \ (5.10)
\]
Le calcul du moment donne :
\[\mathbf{M=\left (-2\,q\,\dfrac{\partial}{\partial q}+ 2\, r\,\dfrac{\partial}{\partial r} \right )\,H
+\left (2\, q\,\dfrac{\partial}{\partial p}-4\,p\,\dfrac{\partial}{\partial r} \right )\,X
+\left ( -2\,r\,\dfrac{\partial}{\partial p}+4\,p\,\dfrac{\partial}{\partial q} \right )\,Y}\ \ \ \ (5.11)
\]
Réintroduisons la base réciproque :
\[\mathbf{M=\left (-2\,q\,\dfrac{\partial}{\partial q}+2\,r\,\dfrac{\partial}{\partial r} \right )\,H^{*}
+\left ( -r\,\dfrac{\partial}{\partial p}+2\,p\,\dfrac{\partial}{\partial q} \right )\,X^{*}
+\left (q\,\dfrac{\partial}{\partial p}-2\,p\,\dfrac{\partial}{\partial r} \right )\,Y^{*}}\ \ \ \ (5.12)
\]
On retrouve bien les opérateurs de (5.6).
Remarques
-Il est facile de vérifier que \(\mathbf{(Ad_{x})^{-1}= Ad_{x^{-1}}}\).
-Le produit de dualité \(\mathbf{\overset{d}{\omega ^{i}}\left (\overset{g}{X_{j}}\right )}\) est l'élément de matrice de \(\mathbf{Ad_{x}}\) (ligne i et colonne j).
-Le produit de dualité \(\mathbf{\overset{g}{\omega ^{i}}\left (\overset{d}{X_{j}}\right )}\) est l'élément de matrice de \(\mathbf{Ad_{x^{-1}}}\) (ligne i et colonne j).
-Il est possible de définir une action co-adjointe :
Si \(\mathbf{L=p\,H+q\,X+r\,Y}\) et \(\mathbf{L^{*}=p\,H^{*}+q\,X^{*}+r\,Y^{*}}\) alors
\[
\mathbf{Ad_{x}(L) = [Ad_{x}]}
\begin{bmatrix}
\mathbf{p}\\
\mathbf{q}\\
\mathbf{r}
\end{bmatrix},
\]
\[
\mathbf{Ad_{x}(L^{*}) = }
\begin{bmatrix}
\mathbf{p} &\mathbf{q} &\mathbf{r}
\end{bmatrix}
\mathbf{[Ad_{x^{-1}}]}\ \ \ \ (5.13)
\]
5.2 Recherche de l'invariant quadratique de l'algèbre par l'application adjointe
Considérons \(\mathbf{F=F(p,q,r)}\) annulant les opérateurs de (5.6), on obtient le système
\[
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathbf{q\,\dfrac{\partial F}{\partial q}-r\,\dfrac{\partial F}{\partial r}=0}&\mathbf{\ \ \ \ (i)}\\
\mathbf{r\,\dfrac{\partial F}{\partial p}-2\,p\,\dfrac{\partial F}{\partial q}=0}&\mathbf{\ \ \ \ (ii)}\\
\mathbf{-q\,\dfrac{\partial F}{\partial p}+2\,p\,\dfrac{\partial F}{\partial r}=0}&\mathbf{\ \ \ \ (iii)}\ \ \ \ (5.14)
\end{cases}
\end{equation}
\]
On peut remarquer que \(\mathbf{q\,(ii)+r\,(iii)=\, -2\,p\,(i)}\), les trois équations de (5.14)ne sont pas indépendantes.
Formons un système avec \(\mathbf{(i)}\), \(\mathbf{(ii)}\) et \(\mathbf{dF=0}\)
\[
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathbf{q\,\dfrac{\partial F}{\partial q}-r\,\dfrac{\partial F}{\partial r}=0}\\
\mathbf{r\,\dfrac{\partial F}{\partial p}-2\,p\,\dfrac{\partial F}{\partial q}=0}\\
\mathbf{dp\,\dfrac{\partial F}{\partial p}+dq\,\dfrac{\partial F}{\partial q}+dr\,\dfrac{\partial F}{\partial r}=0}\ \ \ \ (5.15)
\end{cases}
\end{equation}
\]
Pour avoir une solution non trivialement nulle , le déterminant doit être nul :
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{q}&\mathbf{-r}\\
\mathbf{r}&\mathbf{-2\,p}&\mathbf{0}\\
\mathbf{dp}&\mathbf{dq}&\mathbf{dr}
\end{vmatrix}\mathbf{=0}\ \ \ \ (5.16)
\]
La relation(5.16) ci-dessus s'écrit \(\mathbf{-r\,d\,\left (p^{2}+q\,r \, \right)=0}\) donc
\(\mathbf{F(p,q,r)= p^{2}+q\,r }\) à une constante multiplicative près.
5.3 Invariant bilinéaire de l'algèbre par l'application adjointe
\(\mathbf{F=F(p_{1},q_{1},r_{1},p_{2},q_{2},r_{2})}\) doit vérifier le système :
\[
\begin{equation}
\begin{cases}
\mathbf{q_{1}\,\dfrac{\partial F}{\partial q_{1}}-r_{1}\,\dfrac{\partial F}{\partial r_{1}}+q_{2}\,\dfrac{\partial F}{\partial q_{2}}-r_{2}\,\dfrac{\partial F}{\partial r_{2}}=0}\\
\mathbf{r_{1}\,\dfrac{\partial F}{\partial p_{1}}-2\,p_{1}\,\dfrac{\partial F}{\partial q_{1}}+r_{2}\,\dfrac{\partial F}{\partial p_{2}}-2\,p_{2}\,\dfrac{\partial F}{\partial q_{2}}=0}\\
\mathbf{-q_{1}\,\dfrac{\partial F}{\partial p_{1}}+2\, p_{1}\,\dfrac{\partial F}{\partial r_{1}}-q_{2}\,\dfrac{\partial F}{\partial p_{2}}+2\, p_{2}\,\dfrac{\partial F}{\partial r_{2}}=0}\ \ \ \ (5.17)
\end{cases}
\end{equation}
\]
A une constante près la grandeur suivante est solution de (5.17) :
\[
\mathbf{F=2\, p_{1}\, p_{2}+q_{1}\, r_{2}+q_{2}\, r_{1}}\ \ \ \ (5.18)
\]
On retrouve l'expression de la forme de Killing-Cartan qui est en \(\mathbf{trace\, \left (\, ad_{L_{1}}\, ad_{L_{2}}\right )}\) .
Le lecteur est invité à trouver un système différentiel dont la solution est (5.18).
6.1 Application adjointe
Le groupe agit sur son algèbre par l'application adjointe \(\mathbf{Ad}\) :
\[
\mathbf{Ad_{x}(v)=x\,v\,x^{-1}}
\]
Dans l'expression ci-dessus \(\mathbf{v}\) est dans l'algèbre de Lie et \(\mathbf{x=e^{u}}\) est dans le groupe de Lie.
On cherche un développement en série de puissances de \(\mathbf{v}\) pour l'expression \(\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}}\).
Ordre \(\mathbf{0}\) pour \(\mathbf{u}\) :
\[
\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}\sim v}
\]
Ordre \(\mathbf{1}\) pour \(\mathbf{u}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}\sim (1+u)\ v\ (1-u)}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim (1+u)\ (v-v\ u)}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v-v\ u+u\ v}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v+[u,v]}
\end{align}
\]
Ordre \(\mathbf{2}\) pour \(\mathbf{u}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}\sim (1+u+\dfrac{u^{2}}{2})\ v\ (1-u+\dfrac{u^{2}}{2})}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim (1+u+\dfrac{u^{2}}{2})\ (v-v\ u+\dfrac{v\ u^{2}}{2})}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v-v\ u+\dfrac{v\ u^{2}}{2}+u\ v-u\ v\ u+\dfrac{u^{2}\ v}{2}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v+u\ v-v\ u+\dfrac{u^{2}\ v-2\ u\ v\ u+v\ u^{2}}{2}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v+[u,v]+\dfrac{[u,[u,v]]}{2}}
\end{align}
\]
Ordre \(\mathbf{3}\) pour \(\mathbf{u}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}\sim (1+u+\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}}{6})\ v\ (1-u+\dfrac{u^{2}}{2}-\dfrac{u^{3}}{6})}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim(1+u+\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}}{6})\ (v-v\ u+\dfrac{v\ u^{2}}{2}-\dfrac{v\ u^{3}}{6})}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v-v\ u+\dfrac{v\ u^{2}}{2}-\dfrac{v\ u^{3}}{6}+u\ v-u\ v\ u+\dfrac{u\ v\ u^{2}}{2}+\dfrac{u^{2}\ v}{2}-\dfrac{u^{2}\ v\ u}{2}+\dfrac{u^{3}\ v}{6}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v+u\ v-v\ u+\dfrac{u^{2}\ v-2\ u\ v\ u+v\ u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}\ v-3\ u^{2}\ v\ u+3\ u\ v\ u^{2}-v\ u^{3}}{6}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sim v+[u,v]+\dfrac{[u,[u,v]}{2}+\dfrac{[u,[u,[u,v]]]}{6}}\ .
\end{align}
\]
On devine la relation souhaitée :
\[
\boxed{\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}=\sum_{n=0}^{\infty}\ \dfrac{ad_{u}\,^{^{\Large{n}}}\ (v)}{n!}}}\ \ \ \ (6.1)
\]
Sous forme condensée :
\[
\boxed{\mathbf{e^{u}\ v\ e^{-u}=e^{\large{ad_{u}}}(v)}}\ \\ \ (6.2)
\]
Si on permute \(\mathbf{x}\) et \(\mathbf{x^{-1}}\) dans l'application adjointe, on obtient deux autres relations :
\[
\boxed{\mathbf{e^{-u}\ v\ e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^{n}\ \dfrac{ad_{u}\,^{^{\Large{n}}}\ (v)}{n!}}}\ \ \ (6.3)
\]
et
\[
\boxed{\mathbf{e^{-u}\ v\ e^{u}=e^{\large{-ad_{u}}}(v)}}\ \ \ \ (6.4)
\]
6.2 Loi de groupe
A deux éléments \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) de l'algèbre de lie correspondent deux éléments \(\mathbf{e^{a}}\) et \(\mathbf{e^{a}}\) du groupe de Lie.
Le produit de ces derniers est dans le groupe donc est de la forme \(\mathbf{e^{c}}\).
On cherche la série donnant \(\mathbf{c}\) en fonction de \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\).Nous devrons utiliser :
\[
\left\lbrace
\begin{align}
&\mathbf{c=Log(e^{a}\ e^{b})}\\
&\mathbf{Log(1+q)\sim \ q-\dfrac{q^{2}}{2}+\dfrac{q^{3}}{3}}
\end{align}
\right.
\]
Ordre \(\mathbf{1}\) pour \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{c\sim Log((1+a)\ (1+b))}\\
&\mathbf{\ \ \sim Log(1+a+b)}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b}
\end{align}
\]
Ordre \(\mathbf{2}\) pour \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{c\sim Log((1+a+\dfrac{a^{2}}{2})(1+b+\dfrac{b^{2}}{2}))}\\
&\mathbf{\ \ \sim Log(1+a+b+\dfrac{a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}{2})}\\
&\mathbf{\ \ \sim(a+b+\dfrac{a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}{2})-\dfrac{(a+b)^{2}}{2}}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b+\dfrac{a^{2}+2\ a\ b+b^{2}-a^{2}-b^{2}-a\ b-b\ a}{2}}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b+\dfrac{[a,b]}{2}}
\end{align}
\]
Ordre \(\mathbf{3}\) pour \(\mathbf{a}\) et \(\mathbf{b}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{c\sim Log((1+a+\dfrac{a^{2}}{2}+\dfrac{a^{3}}{6})(1+b+\dfrac{b^{2}}{2}+\dfrac{b^{3}}{6}))}\\
&\mathbf{\ \ \sim Log(1+a+b+\dfrac{a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}{2}+\dfrac{a^{3}+3\ a^{2}\ b+3\ a\ b^{2}+b^{3}}{6})}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b+\dfrac{a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}{2}+\dfrac{a^{3}+3\ a^{2}\ b+3\ a\ b^{2}+b^{3}}{6}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ -\dfrac{1}{2}\ (a^{2}+a\ b+\dfrac{a^{3}+2\ a^{2}\ b+a\ b^{2}}{2}+b\ a+b^{2}+\dfrac{b\ a^{2}+2\ b\ a\ b+b^{3}}{2}+\dfrac{a^{3}+2\ a\ b\ a+b^{2}\ a}{2}+\dfrac{a^{2}\ b+2\ a\ b^{2}+b^{3}}{2})}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ +\dfrac{a^{3}+a^{2}\ b+a\ b\ a+a\ b^{2}+b\ a^{2}+b\ a\ b+b^{2}\ a+b^{3}}{3}}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ +\dfrac{a^{2}+2\ a\ b+b^{2}}{2}-\dfrac{a^{2}+a\ b+b\ a+b^{2}}{2}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ +\dfrac{2\ a^{3}+6\ a^{2}\ b+6\ a\ b^{2}+2\ b^{3}}{12}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ -\dfrac{6\ a^{3}+6\ b^{3}+6\ b\ a\ b+6\ a\ b\ a+3\ b\ a^{2}+3\ b^{2}\ a+9\ a\ b^{2}+9\ a^{2}\ b}{12}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ +\dfrac{4\ a^{3}+4\ a^{2}\ b+4\ a\ b\ a+4\ a\ b^{2}+4\ b\ a^{2}+4\ b\ a\ b+4\ b^{2}\ a+4\ b^{3}}{12}}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b+\dfrac{a\ b-b\ a}{2}+\dfrac{a\ b^{2}+a^{2}\ b-2\ b\ a\ b-2\ a\ b\ a+b\ a^{2}+b^{2}\ a}{12}}\\
&\mathbf{\ \ \sim a+b+\dfrac{[a,b]}{2}+\dfrac{[a,[a,b]]+[b,[b,a]]}{12}}
\end{align}
\]
On se contentera de :
\[
\boxed{\mathbf{c=a+b+\dfrac{[a,b]}{2}+\dfrac{[a,[a,b]]+[b,[b,a]]}{12}+...}}\ \ \ \ (6.5)
\]
6.3 Différentielle de l'application exponentielle
On cherche la série représentant \(\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)}\),les éléments \(\mathbf{u}\) et \(\mathbf{v}\) étant dans l'algèbre de Lie.
Par définition :
\[
\begin{align}
&\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)=\ \ \ \lim _{t \to 0 }\ \dfrac{e^{u+t\ v}-e^{u}}{t}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =e^{u}\ \lim_{t \to 0 }\ \dfrac{e^{-u}\ e^{u+t\ v}-1}{t}}\ .
\end{align}
\]
Calculons le terme qui se présente sous forme de limite.
On néglige les termes en \(\mathbf{t^{n}}\) pour \(\mathbf{n>1}\) et on se restreint au degré total \(\mathbf{3}\) pour les produits de \(\mathbf{u}\) par \(\mathbf{v}\) :
\[
\mathbf{\dfrac{(1-u+\dfrac{u^{2}}{2}-\dfrac{u^{3}}{6})\ (1+u+t\ v+\dfrac{u^{2}+t\ u\ v+t\ v\ u}{2}+\dfrac{u^{3}+t\ u^{2}\ v+t\ u\ v\ u+t\ v\ u^{2}}{6})-1}{t}}
\]
Développons l'expression ci-dessus :
\[
\begin{align}
&\mathbf{1+u+t\ v+\dfrac{u^{2}+t\ u\ v+t\ v\ u}{2}+\dfrac{u^{3}+t\ u^{2}\ v+t\ u\ v\ u+t\ v\ u^{2}}{6}-1}\\
&\mathbf{-u-u^{2}-t\ u\ v-\dfrac{u^{3}+t\ u^{2}\ v+t\ u\ v\ u}{2}}\\
&\mathbf{+\dfrac{u^{2}+u^{3}+t\ u^{2}\ v}{2}}\\
&\mathbf{-\dfrac{u^{3}}{6}}
\end{align}
\]
Terme en \(\mathbf{t^{0}}\) :
\[
\mathbf{1+u-u+\dfrac{u^{2}}{2}-u^{2}+\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}}{6}-\dfrac{u^{3}}{2}+\dfrac{u^{3}}{2}-\dfrac{u^{3}}{6}=0}
\]
Terme en \(\mathbf{t^{1}}\) :
\[
\begin{align}
&\mathbf{t\ v+\dfrac{t\ u\ v}{2}+\dfrac{t\ v\ u}{2}-t\ u\ v+\dfrac{t\ u^{2}\ v}{6}+\dfrac{t\ u\ v\ u}{6}+\dfrac{t\ v\ u^{2}}{6}-\dfrac{t\ u^{2}\ v}{2}-\dfrac{t\ u\ v\ u}{2}+\dfrac{t\ u^{2}\ v}{2}}\\
&\mathbf{=}\\
&\mathbf{t\ v+\dfrac{t\ v\ u-t\ u\ v}{2}+\dfrac{t\ u^{2}\ v-2\ t\ u\ v\ u+t\ v\ u^{2}}{6}}\\
&\mathbf{=}\\
&\mathbf{t\ v-\dfrac{t\ [u,v]}{2}+\dfrac{t\ [u,[u,v]]}{6}}
\end{align}
\]
En divisant par \(\mathbf{t}\), on devine l'expression :
\[
\boxed{\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)=e^{u}\ \sum_{n=0}^{\infty}\ (-1)^{n}\ \dfrac{ad_{u}\,^{^{\Large {n}}}\ (v)}{(n+1)!}}}\ \ \ \ (6.6)
\]
Sous forme condensée :
\[
\boxed{\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)=e^{u}\ \left (\dfrac{1-e^{\large{-ad_{u}}}}{ad_{u}}\right )(v)}}\ \ \ \ (6.7)
\]
Si on multiplie l'expression ci-dessus par \(\mathbf{e^{-u}}\) à gauche, on obtient la forme de Cartan invariante par translation à gauche.
Cette forme de cartan est dans l'algèbre de Lie, ce que confirme le deuxième membre de l'égalité.
L'expression de la différentielle utile pour la forme de Cartan invariante par translation à droite est :
\[
\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)=\ \lim_{t \to 0 }\ \dfrac{e^{u+t\ v}\ e^{-u}-1}{t}\ e^{u}}\ .
\]
Ce qui entraîne une nouvelle expression :
\[
\boxed{\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)=\sum_{n=0}^{\infty}\ \dfrac{ad_{u}\,^{^{\Large {n}}}\ (v)}{(n+1)!}\ e^{u}}}\ \ \ \ (6.8)
\]
Ou sous forme condensée :
\[
\boxed{\mathbf{d_{u}\ e^{u}\ (v)=\ \left (\dfrac{e^{\large{ad_{u}}}-1}{ad_{u}}\right )(v)\ e^{u}}}\ \ \ \ (6.9)
\]
La relation (6.9) permet d'envisager un développement faisant intervenir un sinus hyperbolique :
\[
\mathbf{\dfrac{e^{-u}\ d_{u}\ e^{u}+e^{u}\ d_{u}\ e^{-u}}{2}\ (v)=\dfrac{sinh(ad_{u})}{ad_{u}}\ (v)}
\]
La grandeur ci-dessus est invariante par conjugaison \(\mathbf{x\ \longmapsto x^{-1}}\) sur le groupe soit \(\mathbf{u\ \longmapsto -u}\) sur l'algèbre.
7.1 Analogie avec les rotations
Faisons un premier changement de variables dans l'algèbre de Lie :
\(\mathbf{p = l_{1}}\),\(\mathbf{q = l_{2}- l_{3}}\) et \(\mathbf{r = l_{2} + l_{3}}\)
ce qui implique :
\[\mathbf{p^{2} + q\,r = l_{1}^{2} + l_{2}^{2} - l_{3}^{2}}\]
Introduisons des coordonnées hyperboliques :
\[
\mathbf{l_{1} = \rho \, ch(\phi) }
\]
\[
\mathbf{l_{2} = \rho \, sh(\phi)\, sh(\theta) }
\]
\[
\mathbf{l_{3} = \rho \, sh(\phi)\, ch(\theta) }
\]
On en déduit :
\[
\begin{align}
&\mathbf{l_{1}^{2} + l_{2}^{2} - l_{3}^{2} = \rho ^{2}\, ch ^{2}(\phi) +\rho ^{2}\, sh ^{2}(\phi)\, sh ^{2}(\theta) -\rho ^{2}\, sh ^{2}(\phi)\, ch ^{2}(\theta)}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \rho ^{2}\, ch ^{2}(\phi) +\rho ^{2}\, sh ^{2}(\phi)\, \underbrace{\left (sh ^{2} (\theta) -\, ch ^{2}(\theta) \right )}_{-1}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \rho ^{2} \underbrace{\left ( ch ^{2}(\phi) - sh ^{2} (\phi) \right )}_{1}}\\
&\mathbf{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \rho ^{2} }
\end{align}
\]
Introduisons les relations précédentes dans (1.11) puis dans (1.1), ce qui permet de former la matrice \(\mathbf{x}\), on obtient :
\[\mathbf{x=}\begin{bmatrix}
\mathbf{ch(\rho)+ sh(\rho)\, ch(\phi) }&\mathbf{sh(\rho)\, sh(\phi) \left ( -ch(\theta ) + sh(\theta) \right )}\\
\mathbf{sh(\rho) \, sh(\phi)\left ( ch(\theta ) + sh(\theta) \right )}&\mathbf{ch(\rho) - sh(\rho)\, ch(\phi)}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (7.1)\]
Par analogie avec les rotations introduisons les coordonnées du vecteur de Hamilton :
\[
\mathbf{q_{1} = th \left (\dfrac{\rho}{2} \right )\, ch(\phi) }
\]
\[
\mathbf{q_{2} = th \left ( \dfrac{\rho}{2}\right )\, sh(\phi)\, sh(\theta) }
\]
\[
\mathbf{q_{3} = th \left (\dfrac{\rho}{2}\right) \, sh(\phi)\, ch(\theta) }
\]
Sachant que :
\[
\mathbf{ch(\rho) = \dfrac{1 + th^{2}\left (\dfrac{\rho}{2} \right )}{1 - th^{2}\left (\dfrac{\rho}{2} \right )} }
\]
\[
\mathbf{sh(\rho) = \dfrac{2\, th \left (\dfrac{\rho}{2} \right )}{1 - th^{2}\left (\dfrac{\rho}{2} \right )} }
\]
\[
\mathbf{th^{2}\left (\dfrac{\rho}{2} \right ) = q_{1}^{2} + q_{2}^{2} - q_{3}^{2} }
\]
Il vient :
\[\mathbf{x=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{1 + q_{1}^{2} +q_{2}^{2} -q_{3}^{2} + 2\, q_{1}}{1 - q_{1}^{2} -q_{2}^{2} +q_{3}^{2}}}&\mathbf{\dfrac{2\, (q_{2} - q_{3})}{1 - q_{1}^{2} -q_{2}^{2} +q_{3}^{2}}}\\
\mathbf{\dfrac{2\, (q_{2} + q_{3})}{1 - q_{1}^{2} -q_{2}^{2} +q_{3}^{2}}}&\mathbf{\dfrac{1 + q_{1}^{2} +q_{2}^{2} -q_{3}^{2} - 2\, q_{1}}{1 - q_{1}^{2} -q_{2}^{2} +q_{3}^{2}}}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (7.2)\]
7.2 Relation de Cayley
La formule de Cayley permet d'obtenir une matrice de rotation à partir d'une matrice antisymétrique, cette
dernière est dans l'algèbre de Lie du groupe des rotations. La relation s'écrit avec des notations parlantes
\[
\mathbf{R = (1 - A)^{-1}\,(1 + A)}\ \ \ \ (7.3)
\]
Dans notre cas \(\mathbf{R}\) devient \(\mathbf{x}\),que l'on cherche, \(\mathbf{A}\) devient \(\mathbf{L}\)qui est dans l'algèbre de Lie de SL(2,R) .
Sachant que :
\[
\mathbf{L =}
\begin{bmatrix}
\mathbf{q_{1}}&\mathbf{q_{2}-q_{3}}\\
\mathbf{q_{2}+q_{3}}&\mathbf{-q_{1}}
\end{bmatrix}
\]
alors :
\[
\mathbf{1 - L =}
\begin{bmatrix}
\mathbf{1 - q_{1}}&\mathbf{-q_{2}+q_{3}}\\
\mathbf{-q_{2}-q_{3}}&\mathbf{1 + q_{1}}
\end{bmatrix}
\]
et :
\[
\mathbf{d\acute{e}t(1 - L) = 1 - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2}}
\]
il vient :
\[
\mathbf{(1 - L)^{-1} = \dfrac{1}{1 - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2}}}
\begin{bmatrix}
\mathbf{1 + q_{1}}&\mathbf{q_{2}-q_{3}}\\
\mathbf{q_{2}+q_{3}}&\mathbf{1 - q_{1}}
\end{bmatrix}
\]
ce qui permet d'obtenir
\[
\mathbf{(1 - L)^{-1}\,(1 + L) = \dfrac{1}{1 - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2}}}
\begin{bmatrix}
\mathbf{1 + q_{1}}&\mathbf{q_{2}-q_{3}}\\
\mathbf{q_{2}+q_{3}}&\mathbf{1 - q_{1}}
\end{bmatrix}^{2}\ \ \ \ (7.4)
\]
On vérifie que (7.4) est bien égal à (7.2).
Pour finir disons que si :
\[
\mathbf{ds^{2}=-\dfrac{1}{2}trace \left (dx\,dx^{-1} \right )}
\]
nous obtenons pour matrice du tenseur métrique :
\[\mathbf{[g]= \dfrac{4}{\left (1 - q_{1}^{2} - q_{2}^{2} + q_{3}^{2}\right )^{2}}}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{-1}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (7.5)
\]
8.1 Par produit intérieur sur une forme
Considérons un opérateur général et une forme générale (trois coordonnées de base comme dans SL(2,R)) :
\(\mathbf{X = X^{1}\dfrac{\partial }{\partial x^{1}} + X^{2}\dfrac{\partial }{\partial x^{1}} + X^{3}\dfrac{\partial }{\partial x^{3}}}\)
\(\mathbf{\omega = \omega _{1}\, dx^{1} + \omega _{2}\, dx^{2} + \omega _{3}\, dx^{3}}\)
Alors le produit intérieur de l'opérateur par la forme est égal par définition :
\[
\mathbf{i_{X}(\omega ) = X^{1}\omega _{1} +X^{2}\omega _{2} + X^{1}\omega _{1}}\ \ \ \ (8.1)
\]
Cette contraction est parfois notée \(\mathbf{\left \langle X|\omega \right \rangle}\). Si on prend les formes et opérateurs du paragraphe 2, on obtient
les relations de dualité bien connues. De la même manière on peut définir la contraction de \(\mathbf{X}\) avec le tenseur
métrique \(\mathbf{g}\); Il suffit d'agir sur le premier terme du produit tensoriel car \(\mathbf{g}\) est symétrique. On obtient :
\(\mathbf{i_{X_{a}}(g) = -2\,\omega ^{a}}\)
\(\mathbf{i_{X_{b}}(g) = -\omega ^{c}}\)
\(\mathbf{i_{X_{c}}(g) = -\omega ^{b}}\) (8.2)
On peut échanger les rôles de \(\mathbf{\omega}\) et \(\mathbf{X}\), pour le produit de dualité rien ne se passera, en revanche il faut faire agir
la forme sur le tenseur métrique inverse. Ce dernier noté \(\mathbf{g^{-1}}\) s'obtient en calculant la matrice inverse \(\mathbf{[g]^{-1}}\).
Posons :
\[
\mathbf{g^{-1} = g^{ij}\, \dfrac{\partial}{\partial x^{i}}\otimes \dfrac{\partial}{\partial x^{j}}}\ \ \ \ (8.3)
\]
alors on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{g^{-1}}
&\mathbf{ = a^{2}\, \dfrac{\partial}{\partial a}\otimes \dfrac{\partial}{\partial a}
+ a\,b\, \dfrac{\partial}{\partial a}\otimes \dfrac{\partial}{\partial b}
+ a\,c\, \dfrac{\partial}{\partial a}\otimes \dfrac{\partial}{\partial c}}\\
&\mathbf{ = + a\,b\, \dfrac{\partial}{\partial b}\otimes \dfrac{\partial}{\partial a}
+ b^{2}\, \dfrac{\partial}{\partial b}\otimes \dfrac{\partial}{\partial b}
+(2 + b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial b}\otimes \dfrac{\partial}{\partial c}}\\
&\mathbf{ = + a\,c\, \dfrac{\partial}{\partial c}\otimes \dfrac{\partial}{\partial a}
+(2 + b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial c}\otimes \dfrac{\partial}{\partial b}
+ c^{2}\, \dfrac{\partial}{\partial c}\otimes \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (8.4)
\end{align}
\]
Le calcul des produits intérieurs donne :
\(\mathbf{i_{\omega ^{a}}(g^{-1}) = X_{a}}\),
\(\mathbf{i_{\omega ^{b}}(g^{-1}) = 2\, X_{c}}\),
\(\mathbf{i_{\omega ^{c}}(g^{-1}) = 2\, X_{b}}\) (8.5)
Il est possible d'obtenir un opérateur matriciel \(\mathbf{X}\) en faisant la contraction de la matrice de Cartan, coordonnée par coordonnée,
par le tenseur métrique \(\mathbf{g^{-1}}\). Les calculs ci-dessus nous donnent :
\[
\mathbf{X =}\begin{bmatrix}
\mathbf{X_{a}}&\mathbf{2\, X_{c}}\\
\mathbf{2\, X_{b}}&\mathbf{-X_{a}}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (8.6)
\]
Remarques
-La matrice \(\mathbf{X}\) peut être qualifiée d'opérateur de Dirac car \(\mathbf{\dfrac{1}{2} trace(X^{2})}\) donne le Laplacien.
-Cet opérateur est invariant par translation à gauche.
-En partant de la forme de cartan invariante à droite on obtient un opérateur de Dirac lui même invariant par translation à droite.
-Les expressions formelles \(\mathbf{\overset {g}{X} = \dfrac{\partial}{\partial x}\, x}\) et \(\mathbf{\overset {d}{X} = x\, \dfrac{\partial}{\partial \, x}}\) peuvent rendre de bons services pour les invariances et la dualité.
8.2 Inversion symbolique de la matrice de Cartan
Sans prendre de précuations inversons,algébriquement s'entend, la matrice \(\mathbf{\omega }\) :
\[
\mathbf{\omega ^{-1} = \dfrac{1}{-\omega ^{a}\, ^{2}\, - \omega ^{b}\, \omega ^{c}}} \begin{bmatrix}
\mathbf{-\omega ^{a}}&\mathbf{-\omega ^{b}}\\
\mathbf{-\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (8.7)
\]
Sachant que :
\[
\mathbf{-\omega ^{a}\, ^{2} - \omega ^{b}\, \omega ^{c} = -\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da^{2}-\dfrac{c}{a}\,da\,db +\dfrac{b}{a}\,da\,dc - db\,dc}\ \ \ \ (8.8)
\]
l'inspection tensorielle de \(\mathbf{\omega ^{-1}}\) montre que ses éléments de matrice sont des opérateurs \(\mathbf{X}\):
Ligne 1 et colonne 1 :
\(\mathbf{-\omega ^{a} = i_{X}( -\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da\otimes da + \dfrac{c}{2\,a}\,da\otimes db +\dfrac{c}{2\,a}\,db\otimes da
+\dfrac{b}{2\, a} da\otimes dc + \dfrac{b}{2\, a} dc\otimes da -\dfrac{1}{2} db\otimes dc -\dfrac{1}{2} dc\otimes db)}\)
La résolution donne :
\(\mathbf{X =a\,\dfrac{\partial}{\partial a} - b\,\dfrac{\partial}{\partial b} + c\,\dfrac{\partial}{\partial c} }\)
ligne 1 et colonne 2 :
\(\mathbf{-\omega ^{b} = i_{X}(-\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da\otimes da + \dfrac{c}{2\,a}\,da\otimes db +\dfrac{c}{2\,a}\,db\otimes da
+\dfrac{b}{2\, a} da\otimes dc + \dfrac{b}{2\, a} dc\otimes da -\dfrac{1}{2} db\otimes dc -\dfrac{1}{2} dc\otimes db)}\)
La résolution donne :
\(\mathbf{X = 2\, b\dfrac{\partial }{\partial a} + \dfrac{2\,(1+b\,c)}{a}\, \dfrac{\partial}{\partial c}}\)
Ligne 2 et colonne 1:
\(\mathbf{-\omega ^{c} = i_{X}(-\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da\otimes da + \dfrac{c}{2\,a}\,da\otimes db +\dfrac{c}{2\,a}\,db\otimes da
+\dfrac{b}{2\, a} da\otimes dc + \dfrac{b}{2\, a} dc\otimes da -\dfrac{1}{2} db\otimes dc -\dfrac{1}{2} dc\otimes db)}\)
La résolution donne :
\(\mathbf{X = 2\, a \dfrac{\partial }{\partial b}}\)
Ligne 2 et colonne 2:
\(\mathbf{\omega ^{a} = i_{X}( -\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da\otimes da + \dfrac{c}{2\,a}\,da\otimes db +\dfrac{c}{2\,a}\,db\otimes da
+\dfrac{b}{2\, a} da\otimes dc + \dfrac{b}{2\, a} dc\otimes da -\dfrac{1}{2} db\otimes dc -\dfrac{1}{2} dc\otimes db)}\)
La résolution donne :
\(\mathbf{X = -a\,\dfrac{\partial}{\partial a} + b\,\dfrac{\partial}{\partial b} - c\,\dfrac{\partial}{\partial c} }\).
On retrouve bien
\[
\mathbf{\omega ^{-1} = X}\, \ \ (8.9)
\]
8.3 Aspect Clifford
Ordonnons \(\mathbf{\overset {g}{X}}\) suivant les dérivées partielles des coordonnées initiales \(\mathbf{\dfrac{\partial}{\partial x^{i}}}\)
\[
\mathbf{\overset {g}{X} = \overset {g}{\gamma^{a}}\, \dfrac{\partial}{\partial a} + \overset {g}{\gamma ^{b}}\, \dfrac{\partial}{\partial b} + \overset {g}{\gamma ^{c}}\, \dfrac{\partial}{\partial c}}\ .\ \ (8.10)
\]
Le lecteur calculera les matrices \(\mathbf{\gamma ^{i}}\) et obtiendra :
\[
\mathbf{\overset {g}{\gamma ^{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a}&\mathbf{2\, b}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-a}
\end{bmatrix},\
\mathbf{\overset {g}{\gamma ^{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-b}&\mathbf{0}\\
\mathbf{2\, a}&\mathbf{b}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{\overset {g}{\gamma ^{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{c}&\mathbf{\dfrac {2\, (1 + b\,c)}{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{-c}
\end{bmatrix}
\ .\ \ (8.11)\]
On peut vérifier les relations suivantes
\(\mathbf{g^{ij} = \dfrac{1}{2}\, trace \left (\overset {g}{\gamma ^{i}}\, \overset {g}{\gamma ^{j}} \right )}\) et \(\mathbf{\{\overset {g}{\gamma ^{i}}, \overset {g}{\gamma ^{j}} \} = 2\, g^{ij}\, I_{2}}\) . (8.12)
Il est possible d'obtenir le même résultat avec l'opérateur à droite.
8.4 Dérivée de Lie
Une transformation infiniment voisine de l'identité, agissant sur les grandeurs(fonctions,opérateurs et formes), apporte
une correction au premier ordre proportionnelle à la dérivée de Lie :
\(\mathbf{L_{X}(f) = Xf}\)
\(\mathbf{L_{X}(Y) = [X,Y]} \)
\(\mathbf{L_{X}(\omega) =d\circ i_{X}(\omega ) + i_{X}\circ d\omega} \) (8.13)
-Les relations ci-dessus sont souvent posées à priori; On peut les découvrir facilement (mais c'est long).
-\(\mathbf{L_{\overset {d}{X_{i}}}(\overset {g}{\omega \,^{j}}) = 0}\)
-\(\mathbf{L_{\overset {g}{X_{i}}}(\overset {d}{\omega \,^{j}}) = 0}\)
-\(\mathbf{L_{\overset {g}{X_{i}}}(g) = L_{\overset {d}{X_{i}}}(g) = 0}\) (8.14)
Pour information donnons les matrices associées (sous forme de tableau) pour les grandeurs différentielles invariantes à gauche.
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{L_{X_{a}}(X_{a})}&\mathbf{L_{X_{a}}(X_{b})}&\mathbf{L_{X_{a}}(X_{c})}& \\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{a}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{b}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{-2}&\mathbf{X_{c}}\\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{L_{X_{b}}(X_{a})}&\mathbf{L_{X_{b}}(X_{b})}&\mathbf{L_{X_{b}}(X_{c})}& \\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{X_{a}}\\
\hline
\mathbf{-2}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{b}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{c}}\\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{L_{X_{c}}(X_{a})}&\mathbf{L_{X_{c}}(X_{b})}&\mathbf{L_{X_{c}}(X_{c})}& \\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{-1}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{a}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{b}}\\
\hline
\mathbf{2}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{X_{c}}\\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{L_{X_{a}}(\omega ^{a})}&\mathbf{L_{X_{a}}(\omega ^{b})}&\mathbf{L_{X_{a}}(\omega ^{c})}& \\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{-2}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{\omega ^{c}}\\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{L_{X_{b}}(\omega ^{a})}&\mathbf{L_{X_{b}}(\omega ^{b})}&\mathbf{L_{X_{b}}(\omega ^{c})}& \\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\hline
\mathbf{-1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{c}}\\
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\mathbf{L_{X_{a}}(\omega ^{a})}&\mathbf{L_{X_{a}}(\omega ^{b})}&\mathbf{L_{X_{a}}(\omega ^{c})}& \\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{-2}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\hline
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\hline
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{c}}\\
\hline
\end{array}\, \ \ (8.15)
\]
9.1 Vecteurs invariants par translation
Ils s'obtiennent en développant la forme de Cartan suivant \(\mathbf{(da,db,dc)}\), soit \(\mathbf{\omega = da\, V_{a} +db\, V_{b} +dc\, V_{c}}\) .
Avec \(\mathbf{\overset{g}{\omega} = x^{-1}\, dx}\) on obtient :
\[
\mathbf{\overset {g}{V_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{\dfrac{b\,(1 + b\, c )}{a^{2}}}\\
\mathbf{-c}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix},\
\mathbf{\overset {g}{V_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{\overset {g}{V_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{-b}&\mathbf{-\dfrac{b^{2}}{a}}\\
\mathbf{a}&\mathbf{b}
\end{bmatrix}
\ \ \ (9.1)
\]
Avec \(\mathbf{\overset{d}{\omega} = dx\, x^{-1}}\) on obtient :
\[
\mathbf{\overset {d}{V_{a}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}&\mathbf{-b}\\
\mathbf{\dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}}&\mathbf{-\dfrac{(1 + b\,c)}{a}}
\end{bmatrix},\
\mathbf{\overset {d}{V_{b}}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-c}&\mathbf{a}\\
\mathbf{-\dfrac{c^{2}}{a}}&\mathbf{c}
\end{bmatrix}\ \mathrm{et}\
\mathbf{\overset {d}{V_{c}} =}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\dfrac{1}{a}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}
\ \ \ \ (9.2)
\]
Remarques
-On retrouve \(\mathbf{(H,X,Y)}\) si on se place en l'élement neutre.
-Les relations de commutation sont vérifiées avec ces matrices variables.
-Il est possible de retrouver le tenseur métrique du groupe.
9.2 Symboles des opérateurs
Si \(\mathbf{x}\) est la matrice de base du groupe et \(\mathbf{X}\) un opérateur différentiel, alors le symbole \(\mathbf{\sigma (X)}\)
calqué sur l'analyse, est défini par :
\[
\mathbf{\sigma (X)=x\, X \, x^{-1}}\, \ \ (9.3)
\]
On obtient pour les opérateurs différentiels de base :
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial a} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{-(1+b\, c)}{a}}&\mathbf{b}\\
\mathbf{-\dfrac{c\, (1+b\, c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a}}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left( \dfrac{\partial}{\partial b}\right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{c}&\mathbf{-a}\\
\mathbf{\dfrac{c^{2}}{a}}&\mathbf{-c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left( \dfrac{\partial}{\partial c}\right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{-\dfrac{1}{a}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\, \ \ (9.4)
\]
ou
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial a} \right )=-\dfrac{(1+b\,c)}{a}\, H+b\, X-\dfrac{c\,(1+b\,c)}{a^{2}}\,Y}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial b} \right )=c\,H-a\, x+\dfrac{c^{2}}{a}\, Y}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\dfrac{\partial}{\partial c} \right )=-\dfrac{1}{a}\, Y}\, \ \ (9.5)
\]
Il s'ensuit :
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{a}} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-1-2\,b \, c}&\mathbf{2\, a \, b}\\
\mathbf{\dfrac{-2\, c \, (1+b\,c)}{a}}&\mathbf{1+2\, b \, c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{b}} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a \, c}&\mathbf{-a^{2}}\\
\mathbf{c^{2}}&\mathbf{-a \, c}
\end{bmatrix}
\]
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{c}} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{-b\,(1+b\,c)}{a}}&\mathbf{b^{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{b\,(1+b\, c)}{a}}
\end{bmatrix}\, \ \ (9.6)
\]
ou
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{a}} \right )=-\,(1+2\, b\, c)\, H+2\, a\,b\, X-\dfrac{2\, c\,(1+b\, c)}{a}\, Y}\\
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{b}} \right )=a\, c\, H-a^{2}\, X+c^{2}\, Y}\\
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X_{c}} \right )=\dfrac{-b\,(1+b\,c)}{a}\, H+b^{2}\, X-\dfrac{(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}\, Y}\, \ \ (9.7)
\]
Avec les trois vecteurs précédents de (9.7) on peut écrire la matrice :
\[
\mathbf{\sigma \left(\overset{g}{X} \right )=}\begin{bmatrix}
\mathbf{-\,(1+2\, b\, c)}&\mathbf{a\, c}&\mathbf{\dfrac{-b\,(1+b\,c)}{a}}\\
\mathbf{2\, a\,b}&\mathbf{-a^{2}}&\mathbf{b^{2}}\\
\mathbf{-\dfrac{2\, c\,(1+b\, c)}{a}}&\mathbf{c^{2}}&\mathbf{-\dfrac{(1+b\, c)^{2}}{a^{2}}}
\end{bmatrix}\, \ \ (9.8)
\]
Au signe près on retrouve la matrice de \(\mathbf{Ad_{x}}\) .
Remarques
-La permutation de \(\mathbf{x}\) et de \(\mathbf{x^{-1}}\) donne les matrices fixes \(\mathbf{(H,X,Y)}\) comme symboles.
-Les relations de commutation des opérateurs se répercutent sur les symboles (attention au signe).
-L'utilisation de la réciprocité \(\mathbf{L\, \to\,L^{\star}}\) permet de définir le symbole des formes.
-L'inversion de la matrice \(\mathbf{\sigma (X)}\) permet de définir aussi le symbole des formes.
-Il est donc possible d'obtenir des relations de commutation entre formes.
-Le même travail se fait avec les opérateurs invariant à droite (permuter \(\mathbf{x}\) et \(\mathbf{x^{-1}}\)).
-On peut reconstituer l'opérateur à partir du symbole.
10.1 Connexion de Levi-Civita
Utilisons la notation \(\mathbf{(x_{1},x_{2},x_{3})}\) au lieu de \(\mathbf{(a,b,c)}\) afin de bénéficier des sorties Latex de sage .
Le tenseur métrique est défini par :
\[
\mathbf{g=-\dfrac{1}{2}\ trace(dx\ dx^{-1})}\, \ \ (10.1)
\]
soit
\[
\mathbf{g = \left( \frac{x_{2} x_{3} + 1}{x_{1}^{2}} \right) \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{1}
-\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{2}
-\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{1}\otimes \mathrm{d} x_{3}
-\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{1}
+ \frac{1}{2} \mathrm{d} x_{2}\otimes \mathrm{d} x_{3}
-\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}} \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{1}
+ \frac{1}{2} \mathrm{d} x_{3}\otimes \mathrm{d} x_{2}}\ \ \ \ (10.2)
\]
ou bien sous forme de tableau :
\[
\mathbf{\left [g \right ] =} \begin{bmatrix}
\mathbf{\frac{x_{2} x_{3} + 1}{x_{1}^{2}}} &\mathbf{ -\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}}} &\mathbf{ -\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}}} \\
\mathbf{-\frac{x_{3}}{2 \, x_{1}}} & \mathbf{0} & \mathbf{\frac{1}{2}} \\
\mathbf{-\frac{x_{2}}{2 \, x_{1}}} &\mathbf{\frac{1}{2}} &\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.3)
\]
Ce qui permet de calculer les coefficients de Christoffel non nuls :
\[
\begin{array}{lcl}
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{1} \, x_{1} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{-\frac{x_{2} x_{3} + 1}{x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{1} \, x_{2} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{3}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{1} \, x_{3} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{2}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{2} \, x_{1} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{3}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{2} \, x_{3} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{1}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{3} \, x_{1} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{1}{2} \, x_{2}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{3} \, x_{2} }^{ \, x_{1} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{1}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{1} \, x_{1} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{-\frac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{2}}{x_{1}^{2}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{1} \, x_{2} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{1} \, x_{3} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{2} \, x_{1} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{2} \, x_{3} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{2}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{3} \, x_{1} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{2}} \, x_{3} \, x_{2} }^{ \, x_{2} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{2}} \\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{1} \, x_{1} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{-\frac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{3}}{x_{1}^{2}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{1} \, x_{2} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{1} \, x_{3} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{1}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{2} \, x_{1} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{2} \, x_{3} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{2}} \phantom{\, x_{3}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{3}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{3} \, x_{1} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{1}}}} & = &\mathbf{\frac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}} \\\\
\mathbf{\Gamma_{ \phantom{\, x_{3}} \, x_{3} \, x_{2} }^{ \, x_{3} \phantom{\, x_{3}} \phantom{\, x_{2}}}} & = &\mathbf{-\frac{1}{2} \, x_{3}}\ \ \ \ (10.4)
\end{array}
\]
Ces coefficients permettent d'écrire une matrice de connexion :
\[
\mathbf{\Gamma =\,}\begin{bmatrix}
\mathbf{\left(-\dfrac{(x_{2} x_{3} + 1)}{x_{1}}\, dx_{1}+ \dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{2}+ \dfrac{1}{2} \, x_{2}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{1}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{1}{2} \, x_{2}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{1}\, dx_{2}\right )}\\
\mathbf{\left (-\dfrac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{2}}{x_{1}^{2}}\, dx_{1} +\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{2}+\dfrac{x_{2}^{2}}{2 \, x_{1}}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{2}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{x_{2}^{2}}{2\,x_{1}}\, dx_{1}-\dfrac{1}{2}\, x_{2}\, dx_{2} \right )}\\
\mathbf{\left (-\dfrac{{\left(x_{2} x_{3} + 1\right)} x_{3}}{x_{1}^{2}}\, dx_{1}+ \dfrac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}\, dx_{2}+\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left(\dfrac{x_{3}^{2}}{2 \, x_{1}}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{3}\right )}&\mathbf{\left (\dfrac{x_{2} x_{3}}{2 \, x_{1}}\, dx_{1} -\dfrac{1}{2} \, x_{3}\, dx_{2}\right)}
\end{bmatrix}\ \ \ \ (10.5)
\]
Remarques
-La matrice (10.5) permet de calculer des dérivées covariantes si besoin est.
-Le calcul de \(\mathbf{d\, \Gamma +\Gamma \wedge\Gamma}\) donne la courbure de Riemann \(\mathbf{R}\).
-Le calcul de la courbure riemannienne scalaire(constante et négative) s'en déduit(voir utilisation du logiciel sage).
10.2 Equation des géodésiques
Nous allons utiliser le formalisme Lagrangien construit sur :
\[
\mathbf{L=\dfrac{1}{2}\, \dfrac{ds^{2}}{dt^{2}}}\ \ \ \ (10.6)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{L=\dfrac{(1+b\,c)}{2\, a^{2}}\,\dot {a}^{2}-\dfrac{c}{2\, a}\,\dot{a}\,\dot{b}-\dfrac{b}{2\, a}\,\dot {a}\,\dot {c} + \dfrac{1}{2}\, \dot{b}\, \dot {c}}\ \ \ \ (10.7)
\]
Les équations de Lagrange s'écrivent :
\[\mathbf{\dfrac{\partial L}{\partial x}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=0}\ \ \ \ (10.8)
\]
Après des calculs faciles mais longuets :
\[
\begin{cases}
\mathbf{2\, (1+b\, c)\, \ddot{a}-a\, c\,\ddot{b}- a\, b\,\ddot{c}-2\, \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \dot{a}^{2}-2\,a\,\dot{b}\, \dot{c}+2\,c\,\dot{a}\, \dot{b}+2\,b\,\dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\mathbf{-c\,\ddot{a}+a\,\ddot{c}=0}\\
\mathbf{-b\,\ddot{a}+a\,\ddot{b}=0}
\end{cases}\ \ \ \ (10.9)
\]
Par combinaison des relations (10.9), on obtient l'équation des géodésiques :
\[
\begin{cases}
\mathbf{\ddot{a}-\dfrac{(1+b\,c)}{a}\,\dot{a}^{2}-a\,\dot{b}\, \dot{c}+ c\,\dot{a}\, \dot{b}+b\,\dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\mathbf{\ddot{b}-\dfrac{b\,(1+b\,c) }{a^{2}}\,\dot{a}^{2}-b\,\dot{b}\, \dot{c}+\dfrac{b\,c}{a}\, \dot{a}\, \dot{b}+\dfrac{b^{2}}{a}\, \dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\mathbf{\ddot{c}-\dfrac{c\,(1+b\,c)}{a^{2}}\,\dot{a}^{2}-c\,\dot{b}\, \dot{c}+\dfrac{c^{2}}{a}\, \dot{a}\, \dot{b}+\dfrac{b\, c}{a}\, \dot{a}\, \dot{c}=0}\\
\end{cases}\ \ \ \ (10.10)
\]
Remarques
-J'invite le lecteur à vérifier que les géodésiques du groupe correspondent à des droites linéaires de l'algèbre.
-On peut utiliser pour \(\mathbf{L}\) une expression quadratique des formes invariantes (voir 3.12), les équations de Lagrange deviennent simplistes :
\[
\mathbf{\dfrac{d}{dt}\, \left (\dfrac{\partial L}{\partial \omega ^{i}} \right )=0}\ \ \ \ (10.11)
\]
-C'est le même résultat que la formule habituelle faisant intervenir les symboles de Christoffel :
\[
\mathbf{\ddot{x^{k}}+ \Gamma_{ \phantom{\, x_{1}} \, x_{i} \, x_{j}}^{ \, x_{k}}\, \dot{x^{i}}\,\dot{x^{j}}=0 }\ \ \ \ (10.12)
\]
11.1 Obtention du Laplacien
Dans le paragraphe 8 nous avons affirmé que \(\mathbf{\Delta =\dfrac{1}{2} trace(X^{2})}\), ou \(\mathbf{X}\) est l'opérateur de Dirac, soit :
\[
\mathbf{\Delta =\dfrac{1}{2}\, trace}\left (\begin{bmatrix}
\mathbf{X_{a}}&\mathbf{2\, X_{c}}\\
\mathbf{2\, X_{b}}&\mathbf{-X_{a}}\\
\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}
\mathbf{X_{a}}&\mathbf{2\, X_{c}}\\
\mathbf{2\, X_{b}}&\mathbf{-X_{a}}\\
\end{bmatrix}\right )\ \ \ \ (11.1)
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\Delta = X_{a}^{2}+2\, X_{b}\, X_{c}+2\, X_{c}\, X_{b}}\ \ \ \ (11.2)
\]
Avec les coordonnées :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta = \,}&\mathbf{a^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a^{2}}+b^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial b^{2}}+c^{2}\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial c^{2}}}\\
&\mathbf{+2\, a\, b \, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a \, \partial b}+2\, a\, c \, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial a \, \partial c}+2\, (2+b\, c)\, \dfrac{\partial ^{2}}{\partial b \, \partial c}}\\
&\mathbf{+3\, a\, \dfrac{\partial}{\partial a}+3\, b\, \dfrac{\partial}{\partial b}+3\, c\, \dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ (11.3)
\end{align}
\]
L'utilisation d'un formulaire donne le même résultat.
11.2 Evolution des positions
Si \(\mathbf{F}\) est une fonction ou un opérateur différentiel alors sa différentielle de Lie calquée sur la mécanique quantique est :
\[
\mathbf{\widehat{dF} = \dfrac{1}{2}\, [\Delta ,F]}\ \ \ \ (11.4)
\]
Il est facile de montrer que les opérateurs différentiels invariants(gauche comme droite) n'évoluent pas.
Pour les coordonnées de base les calculs sont simples et rapides, vous trouverez :
\[
\mathbf{\widehat{da} =a^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial a}+a\,b\, \dfrac{\partial}{\partial b}+a\,c\, \dfrac{\partial}{\partial c}+\dfrac{3}{2}\, a}\\
\mathbf{\widehat{db} =a\, b\,\dfrac{\partial}{\partial a}+b^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial b}+(2+b\, c)\, \dfrac{\partial}{\partial c}+\dfrac{3}{2}\, b }\\
\mathbf{\widehat{dc} =a\, c\,\dfrac{\partial}{\partial a}+(2+b\, c)\, \dfrac{\partial}{\partial b}+c^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial c}+\dfrac{3}{2}\, c}\ \ \ \ (11.5)
\]
Les relations (11.5) nous incitent à quantifier symétriquement les formes,par exemple :
\[
\mathbf{\widehat{\omega ^{a}}=\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{(1+b\, c)}{a}\, \widehat{da}-b\, \widehat{dc}+\widehat{da}\,\dfrac{(1+b\, c)}{a}-\widehat{dc}\, b \right )}\, \ \ \ (11.6)
\]
Après quelques calculs faciles mais un peu longuets :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{\omega ^{a}}}&=\mathbf{X_{a}}\\
\mathbf{\widehat{\omega ^{b}}}&=\mathbf{2\,X_{c}}\\
\mathbf{\widehat{\omega ^{c}}}&=\mathbf{2\,X_{b}}\, \ \ \ (11.7)
\end{align}
\]
Il est tentant de quantifier symétriquement la distance carrée exprimée en fonction des formes invariantes.
Commençons par symétriser classiquement(ce qui ne change rien pour l'instant) :
\[
\mathbf{ds^{2}=\, \omega ^{a\, ^{2}} +\dfrac{1}{2} \left ( \omega ^{b}\, \omega ^{c} + \omega ^{c}\, \omega ^{b} \right )}
\]
Faisons la quantification de chaque forme dans l'expression précédente :
\[
\mathbf{\widehat{ds^{2}}=\, \, \widehat{\omega ^{a}}^{2} +\dfrac{1}{2} \left ( \widehat{\omega ^{b}}\, \widehat{\omega ^{c}} + \widehat{\omega ^{c}}\, \widehat{\omega ^{b}} \right )}
\]
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\widehat{ds^{2}}=\, \, X_{a}^{2}+\dfrac{1}{2} \left ( 2\, X_{c}\, 2\, X_{b} +2\, X_{b}\, 2\, X_{c} \right )}
\]
Après simplification par 2 on retrouve bien le Laplacien exprimé en (11.2).
11.3 Montée et descente des indices
Rappelons l'expression des tenseurs métriques fixes :
\[\mathbf{[g_{ij}]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\, \ \ \ (11.8)\]
et
\[\mathbf{[g^{ij}]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\, \ \ (11.9)\]
La matrice (11.8) sert à faire descendre les indices, par exemple :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{\omega _{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega _{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega _{c}}}
\end{bmatrix}\, =
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{\omega ^{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega ^{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{\omega ^{c}}}
\end{bmatrix}\, \ \ \ (11.10)
\]
La comparaison de (11.10) et (3.12) implique \(\mathbf{ds^{2}=\omega ^{a}\, \omega _{a}+\omega ^{b}\, \omega _{b}+\omega ^{c}\, \omega _{c}}\) . (11.11)
L'expression ci-dessus est plus simple, nous avons oublié l'indice gauche car le résultat est le même avec les formes à droite.
La matrice (11.9) sert à faire monter les indices, par exemple :
\[
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{X^{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X^{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X^{c}}}
\end{bmatrix}\, =
\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\,
\begin{bmatrix}
\mathbf{\overset{g}{X_{a}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X_{b}}}\\
\mathbf{\overset{g}{X_{c}}}
\end{bmatrix}\, \ \ \ (11.12)
\]
La comparaison de (11.12) et (11.2) implique \(\mathbf{\Delta = X^{a}\, X_{a}+X^{b}\, X_{b}+X^{c}\, X_{c}}\) . (11.13)
L'expression ci-dessus est plus simple, nous avons oublié l'indice gauche car le résultat est le même avec les opérateurs à droite.
Remarques
-On peut aussi utiliser \(\mathbf{\Delta = d\, \delta + \delta \, d}\) ou \(\mathbf{d}\) et \(\mathbf{\delta}\) sont respectivement
la différentielle extérieure et la codifférentielle extérieure.
-Formellement \(\mathbf{\widehat {\omega}=X}\) avec indices en haut pour les formes et indices en bas pour les opérateurs.
-Le même travail se fait avec les grandeurs invariantes par translation à droite.
-La quantification des formes par l'opérateur de Dirac mène aux matices fixes réciproques.
-Les opérateurs du groupe commutent avec la Laplacien ; Ce sont des vecteurs de Killing-Cartan.
12.1 Evolution des formes
Rappelons la distance carrée vue dans le troisième paragraphe :
\[
\mathbf{ds^{2}=\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}\,da^{2}-\dfrac{c}{a}\,da\,db-\dfrac{b}{a}\,da\,dc + db\,dc}\ \ \ (12.1)
\]
Par analogie avec la mécanique du point matériel nous définissons les formes impulsion par :
\[
\begin{align}
\mathbf{P_{a}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial da}=}&\mathbf{\dfrac{(1+b\, c)}{a^{2}}\, da-\dfrac{c}{2\, a}\, db-\dfrac{b}{2\, a}\, dc}&\\
\mathbf{P_{b}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial db}=}&\mathbf{-\dfrac{c}{2\, a}\, da+\dfrac{1}{2}\,dc}&\\
\mathbf{P_{c}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial ds^{2}}{\partial da}=}&\mathbf{-\dfrac{b}{2\, a}\, da+\dfrac{1}{2}\, db}&\ \ \ \ \ \ \ \ (12.2)
\end{align}
\]
On peut lire les formes impulsion sur les lignes de la matrice du tenseur métrique \(\mathbf{g}\) :
\[
\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}\\
\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ (12.3)
\]
L'inversion des relations (12.2) permet d'exprimer \(\mathbf{(da,db,dc)}\) en fonction de \(\mathbf{\left (P_{a},P_{b},P_{c}\right )}\).
Nous pouvons maintenant exprimer les formes du groupe en fonction des formes impulsion :
\[
\begin{align}
\mathbf{\overset{g}{\omega}_{a}=}&\mathbf{a\, P_{a}}&\mathbf{-b\, P_{b}}&\mathbf{\ \ +c\, P_{c}}&\\
\mathbf{\overset{g}{\omega}_{b}=}&\mathbf{2\, b\, P_{a}}&\mathbf{}&\mathbf{\ \ +\dfrac{2\,(1+b\, c)}{a}\, P_{c}}&\\
\mathbf{\overset{g}{\omega}_{c}=}&\mathbf{}&\mathbf{2\, a\, P_{b}}&\mathbf{}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12.4)
\end{align}
\]
Le calcul des accolades de Poisson donne :
\[
\mathbf{\{ \overset{g}{\omega^{a}},\overset{g}{\omega^{b}}\}=2\, \overset{g}{\omega^{b}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{\omega^{a}},\overset{c}{\omega^{b}}\}=-2\, \overset{g}{\omega^{c}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{\omega^{b}},\overset{g}{\omega^{c}}\}=4\,\overset{g}{\omega^{a}}}\ \ \ \ \ (12.5)
\]
Si on fait descendre les indices, on retrouve les relations du deuxième paragraphe.
L'opérateur d'évolution des fonctions ou formes est \(\mathbf{\dfrac{g}{2}}\) qui se calcule bien en fonction des positions et des impulsions.
La différentielle de Poisson de la grandeur \(\mathbf{F}\) est ainsi :
\[
\mathbf{dF=\, \{F ,\, \dfrac{g}{2} \}}\\
\mathbf{dF=\, \{F ,\, \dfrac{a^{2}}{2}\, P_{a}^{\,\, 2} +\dfrac{b^{2}}{2}\, P_{b}^{\,\, 2} + \dfrac{c^{2}}{2}\, P_{c}^{\,\, 2}
+\, a\, b\, P_{a}\, P_{b}+\, a\, c\, P_{a}\, P_{c}+\, (2+b\, c)\, \, P_{b}\, P_{c} \}}\ \ \ \ \ (12.6)
\]
Remarques
-Nous avons pris la définition suivante pour le calcul des accolades de Poisson :
\[
\mathbf{\{F,G\}= \sum_{\alpha =1}^{\alpha =N} \left ( \dfrac{\partial F}{\partial q^{\alpha}}\, \dfrac{\partial G}{\partial p_{\alpha}}- \dfrac{\partial F}{\partial p_{\alpha}}\, \dfrac{\partial G}{\partial q^{\alpha}} \right )}
\ \ \ \ \ (12.7)\]
-J'invite le lecteur à vérifier que les formes invariantes n'évoluent pas, soit \(\mathbf{d\omega ^{i} =0}\).
-Il faudrait clarifier un peu pour calculer la différentielle de Poisson de formes de grade supérieur à 1.
-L'opérateur d'évolution est du type \(\mathbf{\dfrac{1}{2}\, v^{\intercal}\, [g]\, v}\) ou bien \(\mathbf{\dfrac{1}{2}\, p^{\intercal}\, [g^{-1}]\, p}\) ,
12.2 Evolution des opérateurs
Sans les produits tensoriels :
\[
\mathbf{g^{-1}=a^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}}{\partial a ^{2}}+2\, a\, b\, \dfrac{\partial}{\partial a}\, \dfrac{\partial}{\partial b}+2\, a\, c\, \dfrac{\partial}{\partial a}\, \dfrac{\partial}{\partial c}
+b^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}}{\partial b ^{2}}+2\, (2+b\, c)\dfrac{\partial}{\partial b}\, \dfrac{\partial}{\partial c}+c^{2}\,\dfrac{\partial ^{2}}{\partial c ^{2}}}\ \ \ (12.8)
\]
Nous sommes en mesure d'écrire les opérateurs impulsion :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{P^{a}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial \dfrac{\partial}{\partial a}}=}&\mathbf{-a^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial a}-a\,b\,\dfrac{\partial}{\partial b}-a\,c\,\dfrac{\partial}{\partial c}}&\\
\mathbf{\widehat{P^{b}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial \dfrac{\partial}{\partial b}}=}&\mathbf{-a\,b\,\dfrac{\partial}{\partial a}-b^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial b}-(2+b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial c}}&\\
\mathbf{\widehat{P^{c}}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial \dfrac{\partial}{\partial c}}=}&\mathbf{-a\,c\,\dfrac{\partial}{\partial a}-(2+b\,c)\, \dfrac{\partial}{\partial b}-c^{2}\,\dfrac{\partial}{\partial c}}&\ \ \ \ \ \ \ \ (12.9)
\end{align}
\]
On peut lire les opérateurs impulsion sur les lignes de la matrice inverse du tenseur métrique :
\[\mathbf{[g]^{-1}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\,c)}&\mathbf{c^{2}}\\
\end{bmatrix}\ \ (12.10)
\]
En faisant descendre les indices :
\[
\mathbf{\widehat{P_{a}}=g_{a\alpha}\,\widehat{P^{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial a}}\\
\mathbf{\widehat{P_{b}}=g_{b\alpha}\,\widehat{P^{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial b}}\\
\mathbf{\widehat{P_{c}}=g_{c\alpha}\,\widehat{P^{\alpha}}=-\dfrac{\partial}{\partial c}}\ \ \ \ \ (12.11)
\]
Nous pouvons maintenant exprimer les opérateurs du groupe en fonction des opérateurs impulsion :
\[
\mathbf{\widehat{\overset{g}{X}_{a}}=-\,a\, \widehat{P_{a}}+b\,\widehat{P_{b}} -c\, \widehat{P_{c}}}\\
\mathbf{\widehat{\overset{g}{X}_{b}}=-\,a\, \widehat{P_{b}}}\\
\mathbf{\widehat{\overset{g}{X}_{c}}=-\,b\,\widehat{P_{a}}-\dfrac{(1+b\, c)}{a}\,\widehat{P_{c}} }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (12.12)
\]
Le calcul des accolades de Poisson donne :
\[
\mathbf{\{ \overset{g}{X_{a}},\overset{g}{X_{b}}\}=2\, \overset{g}{X_{b}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{X_{a}},\overset{g}{X_{c}}\}=-2\, \overset{g}{X_{c}}}\\
\mathbf{\{ \overset{g}{X_{b}},\overset{g}{X_{c}}\}=\,\overset{g}{X_{a}}}\ \ \ \ \ (12.13)
\]
La différentielle de Poisson de la grandeur \(\mathbf{F}\) est ainsi :
\[
\mathbf{dF=\, \{F ,\, -\dfrac{g^{-1}}{2} \}}\\
\mathbf{dF=\, \{F ,\, -\dfrac{a^{2}}{2}\, P_{a}^{\,\, 2} -\dfrac{b^{2}}{2}\, P_{b}^{\,\, 2} - \dfrac{c^{2}}{2}\, P_{c}^{\,\, 2}
-\, a\, b\, P_{a}\, P_{b}-\, a\, c\, P_{a}\, P_{c}-\, (2+b\, c)\, \, P_{b}\, P_{c} \}}\ \ \ \ \ (12.14)
\]
12.3 Différentielle des opérateurs
Si on écrivait un dictionnaire Lie-Poisson, il y aurait une case manquante portant sur la différentielle des opérateurs.
Pour ce faire décomposons un opérateur en fonction des impulsions :
\[
\mathbf{\widehat{X_{i}} = \, X_{j}^{i}\, \widehat{P^{j}}}\ \ \ \ \ (12.15)
\]
La différentielle notée \(\mathbf{\delta}\)(car on diminue le grade) sera définie par :
\[
\begin{align}
\mathbf{\delta \,\widehat{X_{i}}}
&\mathbf{ = \,\delta \, X_{j}^{i}\, \wedge \widehat{P^{j}}}\\
&\mathbf{ = \left ( \dfrac{\partial X_{j}^{i}}{\partial x^{k}}\, \widehat{\delta \, x^{k}}\right ) \wedge \widehat{P^{j}}}\ \ \ \ \ (12.16)
\end{align}
\]
La quantité \(\mathbf{\widehat{\delta \, x^{k}}}\) se calcule comme suit :
\[
\mathbf{\widehat{\delta \, x^{k}}\, = \{ x^{k},\, -\dfrac{1}{2}\, g^{-1} \}}\ \ \ \ \ (12.17)
\]
Au final il faudra exprimer (12.16) sous forme d'une somme de termes du type :
\[
\mathbf{\widehat{X^{u}}\, \wedge \, \widehat{X^{v}}}
\]
On retrouve bien des relations type Maurer-Cartan avec indices supérieurs ; Bon courage pour les vérifications.
Remarques
-J'invite le lecteur à vérifier que les opérateurs invariants ainsi que les formes invariantes n'évoluent pas.
Ce sont des vecteurs de Killing-Cartan
-Le choix du signe moins dans (12.8) permet d'obtenir les mêmes signes que dans le deuxième paragraphe.
13.1 Conjugaison de Hodge avec le tenseur mobile
Rappelons l'expression matricielle du tenseur métrique \(\mathbf{g}\) (indices en bas) et de son inverse \(\mathbf{g^{-1}}\) (indices en haut) :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{\dfrac{(1+b\,c)}{a^{2}}}&\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}\\
\mathbf{\dfrac{-c}{2\,a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{\dfrac{-b}{2\, a}}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (13.1)\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g)=\, -\dfrac{1}{4\, a^{2}}}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g)}=\dfrac{1}{2\, |a|}}\) .
\[\mathbf{[g]^{-1}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\,c)}&\mathbf{c^{2}}\\
\end{bmatrix}\ \ (13.2)
\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g^{-1})=\, -4\, a^{2}}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g^{-1})}=\, 2\, |a|}\) .
Nous aurons besoin de développer des déterminants tensoriels, donnons un petit exemple :
\[
\begin{vmatrix}
\mathbf{du}&\mathbf{du}\\
\mathbf{dv}&\mathbf{dv}
\end{vmatrix}
\mathbf{=\, du\otimes dv-\,dv\otimes du\, =\ du\, \wedge\, dv }\ \ (13.3)
\]
Le développement s'est fait par rapport à la première colonne.
Ce qui suit est une histoire sans paroles dont le sujet est l'opération étoile de Hodge portant sur les différentielles de base.
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{da}&\mathbf{da}\\
\mathbf{db}&\mathbf{db}&\mathbf{db}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{dc}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\, \dfrac{1}{2\, |a|}\, da\, \wedge \, db\, \wedge \, dc}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{da}&\mathbf{da}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{db}&\mathbf{db}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{dc}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da)}&\mathbf{=\, \dfrac{a\, c}{2\, |a|}\, da \wedge db -\, \dfrac{a\, b}{2\, |a|}\, da \wedge dc + \dfrac{|a|}{2}\, db \wedge dc }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (db)}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{da}\\
\mathbf{db}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{db}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{(2+b\, c)}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (db)}&\mathbf{=\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, |a|}\, da \wedge db -\, \dfrac{b^{2}}{2\, |a|}\, da \wedge dc + \dfrac{a\, b}{2\, |a|}\, db \wedge dc }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (dc)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{da}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{db}&\mathbf{db}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{dc}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (dc)}&\mathbf{=\, \dfrac{c^{2}}{2\, |a|}\, da \wedge db -\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, |a|}\, da \wedge dc + \dfrac{a\, c}{2\, |a|}\, db \wedge dc }
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da \wedge db)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{da}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{db}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\, c)}&\mathbf{dc}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da \wedge db)}&\mathbf{=\, \dfrac{a\, b}{|a|}\, da -\, |a|\, db}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (db \wedge dc)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{da}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{db}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{dc}&\mathbf{(2+b\, c)}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (db \wedge dc)}&\mathbf{=\, -\dfrac{2\, (1+ b\, c)}{|a|}\, da +\, \dfrac{a\, c}{|a|}\, db +\dfrac{a\, b}{|a|}\, dc}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da \wedge dc)}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{da}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{db}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\,c}&\mathbf{dc}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da \wedge dc)}&\mathbf{=\, -\dfrac{a\, c}{|a|}\, da +\, |a|\, dc}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (da \wedge db \wedge dc)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{a^{2}}&\mathbf{a\, b}&\mathbf{a\, c}\\
\mathbf{a\, b}&\mathbf{b^{2}}&\mathbf{(2+b\, c)}\\
\mathbf{a\, c}&\mathbf{(2+b\,c)}&\mathbf{c^{2}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (da \wedge db \wedge dc)}&\mathbf{=\, -2\, |a| }\ \ (13.4)
\end{align}
\]
Les relations (13.4) permettent de calculer les conjuguées de Hodge des formes du groupe ; Mais la méthode du paragraphe suivant est plus expéditive.
Remarques
-Les déterminants avec colonnes identiques ne sont pas nuls car le développement se fait tensoriellement.
-On pourrait développer suivant les lignes à condition de transposer le déterminant différentiel initial.
La substitution par les éléments de \(\mathbf{g^{-1}}\) se ferait par lignes.
-Le signe moins introduit sous la racine n'est pas justifié dans ce travail.
-Le signe moins parfois introduit devant la racine est égal à \(\mathbf{(-1)^{k}}\) ou \(\mathbf{k}\) est le nombre
de transpositions permettant de regrouper le bloc différentiel à droite.
13.2 Conjugaison de Hodge avec le tenseur fixe
Rappelons l'expression matricielle du tenseur métrique \(\mathbf{g}\) (indices en bas) et de son inverse \(\mathbf{g^{-1}}\) (indices en haut) :
\[\mathbf{[g]=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\dfrac{1}{2}}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (13.5)\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g)=\, -\dfrac{1}{4}}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g)}=\dfrac{1}{2}}\) .
\[\mathbf{[g]^{-1}=}\begin{bmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}\\
\end{bmatrix}\ \ \ \ (13.6)\]
Avec \(\mathbf{d\acute{e}t(g^{-1})=\, -4}\) et \(\mathbf{\sqrt{-d\acute{e}t(g^{-1})}=\, 2}\) .
Ce qui suit est une histoire sans paroles dont le sujet est l'opération étoile de Hodge portant sur les formes du groupe.
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (1)}&\mathbf{=\, \dfrac{1}{2}\, \omega ^{a}\, \wedge \, \omega ^{b}\, \wedge \, \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a})}&\mathbf{=\, \dfrac{1}{2}\, \omega ^{b} \wedge \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{b})}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{2}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{b})}&\mathbf{=\, \omega ^{a} \wedge \omega ^{b}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{c})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{2}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{c})}&\mathbf{=\, \omega ^{a} \wedge \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{a}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{\omega ^{c}}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b})}&\mathbf{=\, -\omega ^{b}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\, -\, 2\, \omega ^{a}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a}\wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\,-\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{\omega ^{a}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{b}}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\omega ^{c}}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\, \omega ^{c}}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\,\sqrt{-d\acute{e}t(g)}\,}
\begin{vmatrix}
\mathbf{1}&\mathbf{0}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{0}&\mathbf{2}\\
\mathbf{0}&\mathbf{2}&\mathbf{0}
\end{vmatrix}\\
\mathbf{\star (\omega ^{a} \wedge \omega ^{b} \wedge \omega ^{c})}&\mathbf{=\, -2}\ \ (13.7)
\end{align}
\]
13.3 La codifférentielle de Hodge
Si \(\mathbf{\delta}\) est la codifférentielle de la forme \(\mathbf{\mu}\) alors :
\[
\mathbf{\delta (\mu ) =\, (-1)^{n\, p +n+1}\star d \star (\mu)}\ \ (13.8)
\]
n=3 est la dimension de la variété SL(2,R)
p est le grade de la forme \(\mathbf{\mu}\)soit p=1 pour les \(\mathbf{\omega ^{i}}\) et p=2 pour les \(\mathbf{\omega ^{i}\wedge \omega ^{j}}\)
Nous utiliserons donc \(\mathbf{\delta\, =\, -\, \star d\, \star}\) pour les 1-formes ; On obtient :
\[\mathbf{\delta (\omega ^{i})=\, 0}\ \ (13.9)\]
Nous utiliserons donc \(\mathbf{\delta\, =\, \star d\, \star}\) pour les 2-formes ; On obtient :
\[\mathbf{\delta (\omega ^{a} \wedge \omega^{b})=\, -2\, \omega ^{b}}\]
\[\mathbf{\delta (\omega ^{b} \wedge \omega^{c})=\, -4\, \omega ^{a}}\]
\[\mathbf{\delta (\omega ^{a} \wedge \omega^{c})=\quad 2\, \omega ^{c}}\ \ (13.10)\]
Après descente des indices on retrouve bien les relations de commutation.
Nous sommes désormais en mesure de calculer le Laplacien \(\mathbf{\Delta}\) d'une forme \(\mathbf{\mu}\) défini par :
\[
\mathbf{\Delta (\mu ) =\, (\delta \,d+ d\,\delta)\, (\mu)}\ \ (13.11)
\]
Les \(\mathbf{\omega ^{i}}\) et les \(\mathbf{\omega ^{i}\wedge \omega ^{j}}\) sont invariantes per le Laplacien en accord avec le paragraphe 12.
Il nous reste à calculer le Laplacien d'une fonction \(\mathbf{F}\) , le terme en \(\mathbf{d\, \delta\, (F)}\)est nul. Il va rester :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)}&\mathbf{=\, \delta \,d\, (F)}\\
&\mathbf{=\, \delta \, (\dfrac{\partial F}{\partial a}\, da+\dfrac{\partial F}{\partial b}\, db+\dfrac{\partial F}{\partial c}\, dc)}\\
&\mathbf{=\, - \star d \star \, (\dfrac{\partial F}{\partial a}\, da+\dfrac{\partial F}{\partial b}\, db+\dfrac{\partial F}{\partial c}\, dc)}\ \ (13.12)
\end{align}
\]
Nous utiliserons a positif car le résultat final n'en dépend pas.
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)}&\mathbf{=\, - \star d \left (\dfrac{\partial F}{\partial a}(\star (da))+\dfrac{\partial F}{\partial b}(\star (db))+\dfrac{\partial F}{\partial c}(\star (dc))\right )}\\
&\mathbf{=\, - \star d \left (\dfrac{\partial F}{\partial a}(\, \dfrac{c}{2}\, da \wedge db -\, \dfrac{b}{2}\, da \wedge dc + \dfrac{a}{2}\, db \wedge dc)\\
\quad \quad \quad \quad +\dfrac{\partial F}{\partial b}(\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, da \wedge db -\, \dfrac{b^{2}}{2\, a}\, da \wedge dc + \dfrac{b}{2}\, db \wedge dc)\\
\quad \quad \quad \quad +\dfrac{\partial F}{\partial c}(\, \dfrac{c^{2}}{2\, a}\, da \wedge db -\, \dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, da \wedge dc + \dfrac{c}{2}\, db \wedge dc)\right )\ \ \ (13.13)}
\end{align}
\]
Il est plus judicieux de regrouper par 2-formes :
\[\mathbf{\Delta (F)=\, - \star d \left (\left (\dfrac{c}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right )\, da \wedge db\\
\hspace{7em}+\left (-\dfrac{b}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}-\dfrac{b^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b} -\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right )\, da \wedge dc\\
\hspace{7em}+\left (\dfrac{a}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{b}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\right )\, db \wedge dc \right )\ \ (13.14)}\]
Passons à l'étape de la différentielle extérieure des 2-formes :
\[
\begin{align}
\mathbf{\Delta (F)=}&\mathbf{- \star \left (\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{b}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\\
\hspace{2em}+\dfrac{c}{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial c\, \partial a}+\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial c\, \partial b}+\dfrac{c^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial c^{2}}\right)\, da \wedge db \wedge dc}\\
&\mathbf{-\star \left (\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{b}{a}\, \dfrac{\partial F}{\partial b}+\dfrac{c}{2\, a}\, \dfrac{\partial F}{\partial c}\\
\hspace{2em}+\dfrac{b}{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial b\, \partial a}+\dfrac{b^{2}}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial b^{2}}+\dfrac{(2+b\, c)}{2\, a}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial b \partial c}\right)\, da \wedge db \wedge dc}\\
&\mathbf{-\star \left (\dfrac{1}{2}\, \dfrac{\partial F}{\partial a}+\dfrac{a}{2}\, \dfrac{\partial ^{2}\, F}{\partial a^{2}}\right)\, da \wedge db \wedge dc}\ \ (13.15)
\end{align}
\]
Sachant que \(\mathbf{\star (da \wedge db \wedge dc) =\, -2\, a}\) on obtient par regroupement dans (13.15) le Laplacien explicité en (11.3).
13.4 Tentation
L'expression du Laplacien des formes fait penser à une aire de rectangle dont la base est \(\mathbf{\delta}\) et la hauteur \(\mathbf{d}\).
Pour raison de non commutation il faut symétriser :
\[
\mathbf{2\, A =\underbrace{\delta \, d+\, d\, \delta}_{\Delta}}\ \ (13.16)
\]
L'opérateur de Laplace peut être vu comme un carré d'opérateur de Dirac agissant sur des formes ; Son expression est :
\[
\mathbf{D=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{0}&\mathbf{\delta + d}\\
\mathbf{\delta + d}&\mathbf{0}
\end{bmatrix}\ \ (13.17)
\]
Donc
\[
\mathbf{D^{2}=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{(\delta + d)^{2}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{(\delta + d)^{2}}
\end{bmatrix}\ \ (13.18)
\]
Soit :
\[
\mathbf{D^{2}=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{\delta ^{2}+\delta \, d +d\, \delta +d^{2}}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\delta ^{2}+\delta \, d +d\, \delta +d^{2}}
\end{bmatrix}\ \ (13.19)
\]
Les deux différentielles sont de carré nul, il reste :
\[
\mathbf{D^{2}=\, }
\begin{bmatrix}
\mathbf{\Delta}&\mathbf{0}\\
\mathbf{0}&\mathbf{\Delta}
\end{bmatrix}\ \ (13.20)
\]
On retrouve ainsi :
\[
\mathbf{\Delta =\, \dfrac{1}{2}\,trace(D^{2})}\ \ (13.21)
\]
Matrices de base
#Matrices x et 1/x
N=2
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
MS_SR_N_N=MatrixSpace(SR,N,N)
x=MS_SR_N_N([[x1,x2],[x3,(1+x2*x3)/x1]])
y=MS_SR_N_N()
y=x.inverse()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
y[i,j]=y[i,j].simplify_rational().factor()
show("La matrice générale du groupe est :");show(LatexExpr(r"\mathbf{x=}"),x)
print('\n')
show("L'inverse de la matrice ci-dessus est :");show(LatexExpr(r"\mathbf{x^{-1}=}"),y)
Formes de Cartan invariantes par translation
#Calcul de x^-1 dx et dx x^-1
N=2;P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
x=matrix([[x1,x2],[x3,(1+x2*x3)/x1]])
y=x.inverse()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
y[i,j]=y[i,j].simplify_rational().factor()
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
f0=M.scalar_field({XU: 0},name='f0')
df0=f0.differential()
g0=M.scalar_field({XU: 0},name='g0')
t0=g0*df0
mg=[[t0.display(),t0.display()],[t0.display(),t0.display()]]
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f1=M.scalar_field({XU: 0},name='f1')
df1=f1.differential()
g1=M.scalar_field({XU: 0},name='g1')
t=g1*df1
for k in srange(N):
f=M.scalar_field({XU: x[k,j]},name='f')
df=f.differential()
g=M.scalar_field({XU: y[i,k]},name='g')
t=t+g*df
for l in srange(N):
t[l]=t[l].factor()
mg[i][j]=t[:]
show("La matrice de Cartan invariante par translation à gauche est définie par",LatexExpr(r"\mathbf{\ \omega =x^{-1}\ dx}")+":")
show(LatexExpr(r"\mathbf{\omega =\ }"),mg)
md=[[t0.display(),t0.display()],[t0.display(),t0.display()]]
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f1=M.scalar_field({XU: 0},name='f1')
df1=f1.differential()
g1=M.scalar_field({XU: 0},name='g1')
t=g1*df1
for k in srange(N):
f=M.scalar_field({XU: x[i,k]},name='f')
df=f.differential()
g=M.scalar_field({XU: y[k,j]},name='g')
t=t+df*g
for l in srange(N):
t[l]=t[l].factor()
md[i][j]=t[:]
show("La matrice de Cartan invariante par translation à droite est définie par",LatexExpr(r"\mathbf{\ \omega =dx\ x^{-1}}")+":")
show(LatexExpr(r"\mathbf{\omega =\ }"),md)
Formes et opérateurs invariants par translation
#Présentation des formes et des opérateurs
N=2;P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
Fg=matrix(SR,[[(1+x2*x3)/x1,0,-x2],[x2*(1+x2*x3)/x1^2,1/x1,-x2^2/x1],[-x3,0,x1]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3> = U.chart()
eU=XU.frame()
u1=M.one_form({eU: Fg[0]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{1}}"))
u2=M.one_form({eU: Fg[1]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{2}}"))
u3=M.one_form({eU: Fg[2]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{3}}"))
show("Les formes invariantes par translation à gauche sont :")
show(u1.display())
show(u2.display())
show(u3.display())
show("On en déduit une matrice des formes :");show(LatexExpr(r"\Omega\ ="),Fg)
Gg=Fg.inverse()
for i in srange(P):
for j in srange(P):
Gg[i,j]=Gg[i,j].simplify_rational().factor()
show("Par inversion, on obtient la matrice des opérateurs :");show(LatexExpr(r"X\ ="),Gg)
v1=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{1}}"));v1[eU,:] = Gg.transpose()[0]
v2=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{2}}"));v2[eU,:] = Gg.transpose()[1]
v3=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{3}}"));v3[eU,:] = Gg.transpose()[2]
show("Les vecteurs tangents invariants par translation à gauche sont :")
show(v1.display())
show(v2.display())
show(v3.display())
Fd=matrix(SR,[[(1+x2*x3)/x1,-x3,0],[-x2,x1,0],[x3*(1+x2*x3)/x1^2,-x3^2/x1,1/x1]])
u1=M.one_form({eU: Fd[0]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{1}}"))
u2=M.one_form({eU: Fd[1]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{2}}"))
u3=M.one_form({eU: Fd[2]},name=LatexExpr(r"\mathbf{\omega^{3}}"))
show("Les formes invariantes par translation à droite sont :")
show(u1.display())
show(u2.display())
show(u3.display())
show("On en déduit une matrice des formes :");show(LatexExpr(r"\Omega\ ="),Fd)
Gd=Fd.inverse()
for i in srange(P):
for j in srange(P):
Gd[i,j]=Gd[i,j].simplify_rational().factor()
show("Par inversion, on obtient la matrice des opérateurs :");show(LatexExpr(r"X\ ="),Gd)
v1=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{1}}"));v1[eU,:] = Gd.transpose()[0]
v2=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{2}}"));v2[eU,:] = Gd.transpose()[1]
v3=M.vector_field(name=LatexExpr(r"\mathbf{X_{3}}"));v3[eU,:] = Gd.transpose()[2]
show("Les vecteurs tangents invariants par translation à droite sont :")
show(v1.display())
show(v2.display())
show(v3.display())
Tenseur métrique
#Tenseur métrique
N=2;P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
x=matrix([[x1,x2],[x3,(1+x2*x3)/x1]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
f0=M.scalar_field({XU: 0},name='f0')
df0=f0.differential()
g0=M.scalar_field({XU: 0},name='g0')
t0=g0*df0
m1=[[t0,t0],[t0,t0]]
m2=[[t0,t0],[t0,t0]]
m3=[[t0*t0,t0*t0],[t0*t0,t0*t0]]
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f1=M.scalar_field({XU: x[i,j]},name='f1')
df1=f1.differential()
g1=M.scalar_field({XU: 1},name='g1')
t1=g1*df1
for l in srange(N):
t1[l]=t1[l].factor()
m1[i][j]=t1
y=x.inverse()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
y[i,j]=y[i,j].simplify_rational().factor()
for i in srange(N):
for j in srange(N):
f2=M.scalar_field({XU: y[i,j]},name='f2')
df2=f2.differential()
g2=M.scalar_field({XU: 1},name='g2')
t2=g2*df2
for l in srange(N):
t2[l]=t2[l].factor()
m2[i][j]=t2
for i in srange(N):
for j in srange(N):
q=t0*t0
for k in srange(N):
q=q+m1[i][k]*m2[k][j]
m3[i][j]=-q/2
g=t0*t0
for l in srange(N):
g=g+m3[l][l]
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=g[i,j].factor()
show("Le tenseur métrique, défini par",LatexExpr(r"\mathbf{\ \ g=-\ \dfrac{1}{2}\,trace(dx\ dx^{-1})}"),",","est donné par le tableau")
show("g ="," ",g[:])
Connexion de Levi-Civita
#Connexion de Levi-Civita
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
g=M.metric('g')
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=m[i,j]
show("Le tenseur métrique de SL(2,R) est :");show(g.display())
show("Ou bien sous forme de tableau :");show(LatexExpr(r"\mathbf{g =}"),g[:])
nab=g.connection()
for i in srange(P):
for j in srange(P):
for k in srange(P):
nab[i,j,k]=nab[i,j,k].factor()
show("Les symboles de Christoffel non nuls sont :");show(nab.display())
show("La liste suivante permet de constituer une matrice de connexion :");show(LatexExpr(r"\mathbf{\Gamma\ =}"),nab.coef()[:])
Courbures
#Calcul des différentes courbures
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
U=M.open_subset('U')
XU.< x1,x2,x3 > = U.chart()
g=M.metric('g')
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=m[i,j]
Riem = g.riemann()
show("le tenseur de courbure de Riemann est :");show(Riem.display())
Ric = g.ricci()
show("Le tenseur de Ricci est :");show(Ric.display())
R=g.ricci_scalar()
RU = R.coord_function(XU)
show("La courbure scalaire est :");show("R=",RU(x1,x2,x3))
Surfaces de nivean de la fonction trace
# Trace constante
x,y,z=var('x,y,z')
h=lambda x,y,z: x^2+y^2-z^2+1-t^2/4
for t in [0,2,5]:
g=implicit_plot3d(h,(x,-5,5),(y,-5,5),(z,-4,4),plot_points=50,color='cyan')
g=g+arrow3d((-6,0,0),(6,0,0),radius=0.1,color='magenta')
g=g+arrow3d((0,-6,0),(0,6,0),radius=0.1,color='magenta')
g=g+arrow3d((0,0,-5),(0,0,5),radius=0.1,color='magenta')
g=g+text3d("x",(6,1,0),color=(0,0,0))
g=g+text3d("y",(1,6,0),color=(0,0,0))
g=g+text3d("z",(0,1,5),color=(0,0,0))
print("Surface de niveau pour t="+str(t))
g.show(frame=True)
Conjugaison de Hodge
#Conjugaison de Hodge pour SL(2,R)
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
M=Manifold(P,'M')
XM.<x1,x2,x3>= M.chart()
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
g = M.metric('g')
for i in srange(P):
for j in srange(P):
g[i,j]=m[i,j]
print("Le tenseur métrique de SL(2,R) est :");show(g.display())
print("Ou bien sous forme de matrice :");show(LatexExpr(r"\mathbf{g =}"),g[:])
print("Le déterminant de g vaut :")
show(m.det().simplify_rational())
om1 = M.one_form(name='omega1', latex_name=r'\omega^{1}')
om1[:]=[1,0,0]
show(om1.display())
om2 = M.one_form(name='omega2', latex_name=r'\omega^{2}')
om2[:]=[0,1,0]
show(om2.display())
om3 = M.one_form(name='omega3', latex_name=r'\omega^{3}')
om3[:]=[0,0,1]
show(om3.display())
print("Voici la liste des conjuguées de Hodge des formes de base :")
om0=M.scalar_field({XM: 1},name='1').hodge_dual(g)
show(om0.display())
om1dual=om1.hodge_dual(g)
show(om1dual.display())
om2dual=om2.hodge_dual(g)
show(om2dual.display())
om3dual=om3.hodge_dual(g)
show(om3dual.display())
om12dual=(om1.wedge(om2)).hodge_dual(g)
show(om12dual.display())
om23dual=(om2.wedge(om3)).hodge_dual(g)
show(om23dual.display())
om31dual=(om1.wedge(om3)).hodge_dual(g)
show(om31dual.display())
p = M.point((x1,x2,x3), name='p')
om123=(om1.wedge(om2)).wedge(om3)
om123dual=om123.hodge_dual(g)
show(om123dual(p))
Laplacien
#Laplacien
P=3
x1,x2,x3=var('x1,x2,x3')
m=matrix([[(1+x2*x3)/x1^2,-x3/(2*x1),-x2/(2*x1)],[-x3/(2*x1),0,1/2],[-x2/(2*x1),1/2,0]])
M=Manifold(P,'M')
XM.<x1,x2,x3>= M.chart()
g=M.metric('g')
for i in range(P):
for j in range(P):
g[i,j]=m[i,j]
F=M.scalar_field(function('F')(x1,x2,x3),name='F')
Delta_F=F.laplacian(g)
show(Delta_F.display())