1. Dérivation par rapport aux différentielles des coordonnées
2. Différentielle quantique d'un opérateur
3. Notion de dérivée fonctionnelle selon Feynmann
La dynamique de la particule est notamment gouvernée par la fonction de Lagrange :
\[\mathbf{L\left (x,y,z,\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt},\dfrac{dz}{dt},t\right )}\ .\ \ (1.1)\]
Pour simplifier les expressions, on peut utiliser la notation de Newton :
\[\mathbf{L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z},t)}\ .\ \ (1.2)\]
Dans le cadre de la relativité restreinte, le Lagrangien de la particule chargée est donné par l'expression :
\[\mathbf{L=-m\,c^{2}\,\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+q(\,A_{x}\,\dot{x}+\,A_{y}\,\dot{y}+\,A_{z}\,\dot{z}-V)}\ .\ \ (1.3)\]
La fonction de Lagrange permet de calculer les coordonnées spatiales du vecteur impulsion-énergie :
\[\mathbf{P_{x}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\ ,\ P_{y}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{y}}\ et\ P_{z}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{z}}}\ .\ \ (1.4)\]
L'énergie constitue la quatrième coordonnée du vecteur impulsion-énergie, on l'obtient en faisant :
\[\mathbf{H=P_{x}\,\dot{x}+P_{y}\,\dot{y}+P_{z}\,\dot{z}-L}\ .\ \ (1.5)\]
Les calculs des équations (1.4) et (1.5) sont faits dans de multiples ouvrages. L'objectif de ce paragraphe
est en fait de résoudre le problème suivant: Dans un quadrivecteur relativiste les coordonnées sont sur
un pied d'égalité et par conséquent il devrait être possible d'avoir une seule formule remplaçant (1.4) et (1.5).
Comme il n'existe pas de quatrième vitesse, il faut rendre le Lagrangien symétrique en espace et en temps.
La solution consiste à multiplier L par dt,puis dériver par rapport aux différentielles de base.
\[\mathbf{L\,dt=-m\,c\,\sqrt{c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}+q(\,A_{x}\,dx+\,A_{y}\,dy+\,A_{z}\,dz-V\,dt)}\ .\ \ (1.6)\]
Effectuons le calcul pour la première coordonnée :
\[
\begin{align}
\mathbf{P_{x}}
&\mathbf{=\dfrac{\partial (L\,dt)}{\partial (dx)}}\\
&\mathbf{=\dfrac{m\,c\,dx}{\sqrt{c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}+q\,A_{x}}\\
&\mathbf{=\dfrac{m\,\dot{x}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+q\,A_{x}}\\
&\mathbf{=p_{x}+q\,A_{x}}\ .\ \ (1.7)
\end{align}
\]
Effectuons le calcul pour la quatrième coordonnée :
\[
\begin{align}
\mathbf{H}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial (L\,dt)}{\partial (dt)}}\\
&\mathbf{=\dfrac{m\,c^{3}\,dt}{\sqrt{c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}}+q\,V}\\
&\mathbf{=\dfrac{m\,c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}+q\,V}\\
&\mathbf{=\gamma\,m\,c^{2}+q\,V}\ .\ \ (1.8)
\end{align}
\]
Remarques
-Les calculs présentés dans ce travail s'étendent à d'autres domaines,citons la relativité générale et
la géométrie différentielle sur les groupes de Lie.
-C'est la grandeur \(\mathbf{L\,dt}\) et non \(\mathbf{L}\) qui possède l'invariance relativiste.
-Le lien avec la forme de Cartan \(\mathbf{\omega(q,p,t) =p\,dq-H(q,p,t)\,dt}\) est trivial.
La différentielle quantique d'un opérateur \(\mathbf{\hat A}\) est calquée sur la relation d'Ehrenfest :
\[\mathbf{\dfrac{d < \Psi\left|\hat A\right|\Psi >}{dt}=\frac{i}{\hbar} < \Psi |[\hat H\, ,\hat A]|\Psi > + < \Psi \left |\dfrac{\partial \hat A}{\partial t}\right |\Psi >}\ .\ \ (2.1)\]
On va multiplier par \(\mathbf{dt}\) les deux membres de l'équation (2.1) et oublier l'état \(\mathbf{|\Psi >}\)et donc ne raisonner que sur les opérateurs.
La définition de la différentielle quantique de \(\mathbf{\hat A}\) est donc :
\[\mathbf{d\hat A\,:=\frac{i}{\hbar} \,\left [\hat H\,-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\, ,\hat A\right ]\,dt}\ .\ \ (2.2)\]
Le Hamiltonien de la théorie de Schrödinger-Pauli est donné par l'expression :
\[
\begin{align}
\mathbf{\hat{H}=}
&\mathbf{\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )^{2}+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )^{2}+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )^{2}}\\
&\mathbf{\ + q\,V}\\
&\mathbf{\ -\dfrac{q\hbar}{2\,m\,c}\vec{\sigma}.\vec{B}}\ .\ \ (2.3)
\end{align}
\]
Donnons les différences quantiques des coordonnées spatiales :
\[
\begin{align}
&\mathbf{d\hat{x}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )}{m}\ dt}\ ,\\
&\mathbf{d\hat{y}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )}{m}\ dt}\ ,\\
&\mathbf{d\hat{z}=\dfrac{\left (-i\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )}{m}\ dt}\ .\ \ (2.4)
\end{align}
\]
Les relations (2.4) traduisent le lien entre vitesse et quantité de mouvement.La différence quantique du
temps \(\mathbf{d\hat{t}}\) est égale à \(\mathbf{dt}\).
Donnons les différences quantiques des coordonnées spinorielles :
\[
\begin{align}
&\mathbf{d\hat{\sigma_{\small x}} =\dfrac{q}{m\,c}(B_{\small z}\hat{\sigma _{\small y}}-B_{\small y}\hat{\sigma _{\small z}})\,dt}\ ,\\
&\mathbf{d\hat{\sigma_{\small y}} =\dfrac{q}{m\,c}(B_{\small x}\hat{\sigma _{\small z}}-B_{\small z}\hat{\sigma _{\small x}})\,dt}\ ,\\
&\mathbf{d\hat{\sigma_{\small z}} =\dfrac{q}{m\,c}(B_{\small y}\hat{\sigma _{\small x}}-B_{\small x}\hat{\sigma _{\small y}})\,dt}\ .\ \ (2.5)
\end{align}
\]
Les relations (2.5) traduisent la dynamique du vecteur de spin \(\mathbf{\vec{\sigma}}\) sous l'action du champ magnétique \(\mathbf{\vec{B}}.\)
On peut regrouper les relations (2.5) avec l'écriture de forme classique :
\[\boxed{\mathbf{d\hat{\vec{\sigma}}=\dfrac{q}{m\,c}\,\widehat{\vec{\sigma}\times \vec{B}\,dt}}}\ .\ \ (2.6)\]
Le calcul des différences quantiques des quantités de mouvement est long et instructif.
Pour la projection suivant l'axe des x, on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{d\hat{p_{\small x}}}
&\mathbf{=\dfrac{i}{\hbar} \,\left [\hat{H}\,-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\, ,\hat{p_{\small x}}\right ]\,dt}\\
&\mathbf{=\dfrac{i}{\hbar} \,\left [\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right )^{2}
+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,y}-q\,A_{\small y}\right )^{2}
+\dfrac{1}{2\,m}\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,z}-q\,A_{\small z}\right )^{2}
+ q\,V\\
-\dfrac{q\hbar}{2\,m\,c}\vec{\sigma}.\vec{B}-i\,\hbar\dfrac{\partial}{\partial t},
\ -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\,x}-q\,A_{\small x}\right ]dt}\\
&\mathbf{=\dfrac{q\,\hbar}{2\,m\,c}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +q\left (-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (-2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y}-i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small y}}{\partial x\partial y}-2\,q\,A_{\small y}\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (-2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial z}-i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small z}}{\partial x\partial z}-2\,q\,A_{\small z}\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y}+i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small x}}{\partial y^{2}}+2\,q\,A_{\small y}\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (2\,i\,\hbar\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}\dfrac{\partial}{\partial z}+i\,\hbar\dfrac{\partial^{2}A_{\small x}}{\partial z^{2}}+2\,q\,A_{\small z}\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}\right )\ dt}\ .\ \ (2.7)
\end{align}
\]
Pour obtenir la deuxième loi de Newton, il faut comparer (2.7) avec la percussion suivant l'axe des x,soit classiquement :
\[
\mathbf{F_{\small x}\,dt=\dfrac{q\,\hbar}{2\,m\,c}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\ dt+q\,E_{\small x}\,dt+q(dy\,B_{\small z}-dz\,B_{\small y})}\ .\ \ (2.8)
\]
Le premier terme de \(\mathbf{F_{\small x}\,dt}\) est dû à l'action du champ magnétique sur le spin alors
que les deuxième et troisième termes proviennent de l'action de la force de Lorentz.
La quantification de (2.8) se fait en :
-remplaçant les différentielles classiques par les différentielles quantiques;
-symétrisant les opérateurs.
Ce qui donne :
\[
\mathbf{\widehat{F_{\small x}\,dt}=\dfrac{q\,\hbar}{2\,m\,c}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\ d\hat{t}+q\,E_{\small x}\,d\hat{t}+\dfrac{q}{2}(d\hat{y}\,B_{\small z}+B_{\small z}d\hat{y}-d\hat{z}\,B_{\small y}-B_{\small y}d\hat{z})}\ .\ \ (2.9)
\]
En utilisant (2.4) et les relations donnant les champs en fonction des potentiels( voir annexe à la fin), on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{F_{\small x}\,dt}}
&\mathbf{=\dfrac{q\,\hbar}{2\,m\,c}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +q\left (-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}-q\,A_{\small y}\right )\left (\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )+\left (\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}\right )\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial y}-q\,A_{\small y}\right )\right )\ dt}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2\,m}\left (\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}-q\,A_{\small z}\right )\left (\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )-\left (\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}\right )\left (-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial z}-q\,A_{\small z}\right )\right )\ dt}\ .\ \ (2.10)
\end{align}
\]
Le développement de (2.10) est égal à (2.7), ce qui permet d'écrire en regroupant les trois directions :
\[
\boxed{\mathbf{d\hat{\vec{p}}=\widehat{\vec{{F}}\,dt}}}\ .\ \ (2.11)
\]
Pour ce qui est du théorème de l'énergie cinétique, il faudra calculer l'équivalent quantique de \(\mathbf{\vec{F}.\vec{v}\,dt}\), soit :
\[
\mathbf{\dfrac{q\,\hbar}{2\,m\,c}(\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\,dx+\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial y}\,dy+\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial z}\,dz)
+q\,(E_{\small x}\,dx+E_{\small y}\,dy+E_{\small z}\,dz)}\ .\ \ (2.12)
\]
Il faut remplacer les différentielles classiques par les opérateurs (2.4) et faire l'opération de symétrisation, on obtient :
\[
\begin{align}
\mathbf{\widehat{\vec{F}.\vec{v}\,dt}}
&\mathbf{=\dfrac{q\,\hbar}{4\,m\,c}\left (\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\,d\hat{x}+d\hat{x}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial x}\right )}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q\,\hbar}{4\,m\,c}\left (\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial y}\,d\hat{y}+d\hat{y}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial y}\right )}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q\,\hbar}{4\,m\,c}\left (\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial z}\,d\hat{z}+d\hat{z}\,\vec{\sigma}.\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial z}\right )}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small x}\,d\hat{x}+d\hat{x}\,E_{\small x})}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small y}\,d\hat{y}+d\hat{y}\,E_{\small y})\,}\\
&\mathbf{\ \ +\dfrac{q}{2}(E_{\small z}\,d\hat{z}+d\hat{z}\,E_{\small z})}\ .\ \ (2.13)
\end{align}
\]
Le détail des calculs est pénible, mais la quantité (2.13) est égale à :
\[
\mathbf{d\hat{E_{\small c}}=\dfrac{i}{\hbar}\left [\hat{E_{\small c}}-i\,\hbar\,\dfrac{\partial}{\partial t}+q\,V-\dfrac{q\,\hbar}{2\,m\,c}\,\vec{\sigma}.\vec{B},\hat{E_{\small c}}\right ]\,dt}\ .\ \ (2.14)
\]
Le théorème de l'énergie cinétique prend donc la forme :
\[
\boxed{\mathbf{d\hat{E_{\small c}}=\widehat{\vec{F}.\vec{v}\,dt}}}\ .\ \ (2.15)
\]
ANNEXE
Les champs dérivent des potentiels suivant les relations :
\[
\begin{align}
\mathbf{E_{\small x}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial t}},\\
\mathbf{E_{\small y}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial t}},\\
\mathbf{E_{\small z}}
&\mathbf{=-\dfrac{\partial V}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial t}},\\
\mathbf{B_{\small x}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial y}-\dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial z}},\\
\mathbf{B_{\small y}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial z}-\dfrac{\partial A_{\small z}}{\partial x}},\\
\mathbf{B_{\small z}}
&\mathbf{=\,\,\, \dfrac{\partial A_{\small y}}{\partial x}-\dfrac{\partial A_{\small x}}{\partial y}}.\\
\end{align}
\]
Remarques -Ce travail s'étend aux autres théories quantiques, à savoir Schrödinger, Lévy-Leblond et Dirac. -Le lecteur fera le lien avec la représentation de Heisenberg des opérateurs.Retour vers le haut de page
Aspect Lagrangien
Considérons l'intégrale d'action pour une particule :
\[
\mathbf{S[x] = \int _{t_{1}}^{t_{2}}\, L\left(x(t'),\dfrac{dx(t')}{dt'},t'\right )dt'}\ .\ \ (3.1)
\]
La grandeur (3.1) doit être minimale sur la trajectoire \(\mathbf{x(t)}\) effectivement suivie avec
les contraintes \(\mathbf{\delta x(t_{1})=0}\) et \(\mathbf{\delta x(t_{2})=0}\) .
Pour \(\mathbf{t_{1} < t< t_{2}}\) définissons avec Feynmann la dérivée fonctionnelle de \(\mathbf{S[x]}\)
par rapport à \(\mathbf{x(t)}\) :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\delta S[x]}{\delta x(t)}}
&\mathbf{=\lim_{\epsilon \to 0 }\dfrac{S[x+\, \epsilon \, \delta (t'-t)]-S[x]}{\epsilon}}\\
&\mathbf{= \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left (\dfrac{\partial L}{\partial x(t')}\, \delta (t'-t) +\dfrac{\partial L}{\partial \left (\dfrac{dx(t')}{dt'}\right )}
\dfrac{d}{dt'}\delta (t'-t)\right )dt'}\\
&\mathbf{=\underbrace{\left [\dfrac{\partial L}{\partial \left (\dfrac{dx(t')}{dt'}\right )}\delta (t'-t) \right ]_{t_{1}}^{t_{2}}}_{=0}+
\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left (\dfrac{\partial L}{\partial x(t')}-\dfrac{d}{dt'}\dfrac{\partial L}{\partial \left (\dfrac{dx(t')}{dt'}\right )}\right )\delta (t'-t)\, dt'}\\
&\mathbf{=\dfrac{\partial L}{\partial x(t)}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \left (\dfrac{dx(t)}{dt}\right )}}\ .\ \ (3.2)
\end{align}
\]
Ainsi l'annulation de la dérivée fonctionnelle redonne les équations de Lagrange de la particule.
Pour un champ \(\mathbf{\Phi (x,y,z,t)}\) le lagrangien du champ \(\mathbf{L(t)}\) est l'intégrale spatiale
de la densité de Lagrangien notée :
\[
\mathbf{\ell(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t})}\ .\ \ (3.3)
\]
On a donc :
\[
\mathbf{L(t)=\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \ell(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t})\
dx \, dy \, dz}\ .\ \ (3.4)
\]
L'intégrale d'action pour le champ est par définition :
\[
\mathbf{S[\Phi ]= \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(t')\, dt'}\ .\ \ (3.5)
\]
Par conséquent
\[
\mathbf{S[\Phi ]= \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left (\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \ell(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x'},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y'},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z'},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t'})\
dx' \, dy' \, dz'\, \right )dt'}\ .\ \ (3.6)
\]
Introduisons le quadrivecteur \(\mathbf{\small{\vec{R}}(x,y,z,t)}\) et l'élément différentiel \(\mathbf{d^{4} \small { \vec{R}} = dx \, dy \, dz\, dt}\) ainsi que le domaine
d'intégration \(\mathbf{D =\left [t_{1}, t_{2} \right ] \times \mathbb{R}^{3}}\).
Nous pouvons maintenant expliciter la dérivée fonctionnelle de \(\mathbf{S[\Phi]}\) par rapport à \(\mathbf{\Phi \left (\small {\vec{R}} \right )}\) :
\[
\mathbf{\dfrac{\delta S[\Phi]}{\delta \Phi \left (\small {\vec{R}},t \right )}=\lim_{\epsilon \to 0 }\dfrac{S \left [\Phi+\, \epsilon \, \delta \left (\small{ \vec{R'} - \vec{R}} \right )\right ]-S[\Phi]}{\epsilon}}\ .\ \ (3.7)
\]
Le membre de droite de la relation (3.7) s'obtient en faisant un développement de taylor à l'ordre 1 :
\[
\mathbf{\, \, \,\, \, \, \, \iiiint _{D} \dfrac{\partial \ell}{\partial \Phi}\, \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
\mathbf{+ \iiiint _{D} \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial x'} \right )} \dfrac{\partial}{\partial x'} \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
\mathbf{+ \iiiint _{D} \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial y'} \right )} \dfrac{\partial}{\partial y'} \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
\mathbf{+ \iiiint _{D} \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial z'} \right )} \dfrac{\partial}{\partial z'} \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
\mathbf{+ \iiiint _{D} \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial t'} \right )} \dfrac{\partial}{\partial t'} \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\ .\ \ (3.8)
\]
Les quatre derniers termes de (3.8) peuvent faire l'objet d'une intégration par parties; En regroupant avec le premier terme il vient :
\[
\mathbf{\, \,\, \, \, \, \int _{t_{1}}^{t_{2}} dt' \delta(t'-t) \iint_{\mathbb{R}^{2}} dy' dz'\delta (y'-y) \delta (z'-z) \underbrace {\left [ \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial x'}\right )}\delta (x'-x)\right ]_{- \infty}^{\infty}}_{=0}}
\]
\[
\mathbf{+ \int _{t_{1}}^{t_{2}} dt' \delta(t'-t) \iint_{\mathbb{R}^{2}} dz' dx'\delta (z'-z) \delta (x'-x) \underbrace{\left [ \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial y'}\right )}\delta (y'-y)\right ]_{- \infty}^{\infty}}_{=0}}
\]
\[
\mathbf{+ \int _{t_{1}}^{t_{2}} dt' \delta(t'-t) \iint_{\mathbb{R}^{2}} dx' dy'\delta (x'-x) \delta (y'-y) \underbrace{\left [ \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial z'}\right )}\delta (z'-z)\right ]_{- \infty}^{\infty}}_{=0}}
\]
\[
\mathbf{+ \iiint _{\mathbb{R}^{3}} dx' dy' dz'\delta (x'-x) \delta (y'-y) \delta(z'-z) \underbrace {\left [ \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial t'}\right )}\delta (t'-t)\right ]_{t_{1}}^{t_{2}}}_{=0}}
\]
\[
\mathbf{+ \iiiint_{D} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \Phi}
-\dfrac{\partial}{\partial x'} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial x'} \right )}\right )
-\dfrac{\partial}{\partial y'} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial y'} \right )}\right )
-\dfrac{\partial}{\partial z'} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial z'} \right )}\right )
-\dfrac{\partial}{\partial t'} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial t'} \right )}\right )
\right )\delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right )d^{4} \small {\vec{R'}}}\ .\ \ (3.9)
\]
L'expression (3.9) ci-dessus vaut :
\[
\mathbf{\dfrac{\partial \ell}{\partial \Phi}
-\dfrac{\partial}{\partial x} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \right )}\right )
-\dfrac{\partial}{\partial y} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial y} \right )}\right )
-\dfrac{\partial}{\partial z} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial z} \right )}\right )
-\dfrac{\partial}{\partial t} \left (\dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial t} \right )}\right )}\ .\ \ (3.10)
\]
Ainsi l'annulation de la dérivée fonctionnelle redonne les équations de Lagrange du champ.
Aspect Hamiltonien
Pour une particule la fonction de Hamilton \(\mathbf{H(q,p)}\) est reliée à la fonction de Lagrange \(\mathbf{L(q,\dot{q})}\) par :
\[
\mathbf{L(q,\dot{q}) = p\ \dot{q} - H(q,p)}\ .\ \ (3.11)
\]
L'intégrale d'action devient
\[\mathbf{S[q,p] = \int _{t_{1}}^{t_{2}}\, \left (p\, \dfrac{dq}{dt^{'}} - H(q,p)\right )dt'}\ .\ \ (3.12)
\]
Dérivons partiellement, par rapport à \(\mathbf{q(t)}\) l'expression (3.12) au sens de Feynmann :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\delta S[q,p]}{\delta q(t)}}
&\mathbf{=\lim_{\epsilon \to 0 }\dfrac{S[q+\, \epsilon \, \delta (t'-t),p]-S[q,p]}{\epsilon}}\\
&\mathbf{= \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left (p\, \dfrac{d}{dt'}\, \delta(t'-t) - \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial q}\, \delta (t'-t)\right )\, dt'}\\
&\mathbf{= \underbrace{\left [ p\, \delta (t'-t) \right ]_{t1}^{t2}}_{= 0} - \int_{t1}^{t2} \left (\dfrac{dp}{dt'} + \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial q} \right ) \, \delta (t'-t) \, dt'}\\
&\mathbf{= -\, \left ( \dfrac{dp}{dt} + \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial q} \right ) }\\
&\mathbf{= 0}\ .
\end{align}
\]
donc
\[
\mathbf{\dfrac{dp}{dt} = -\, \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial q}}\ .\ \ (3.13)
\]
Dérivons partiellement, par rapport à \(\mathbf{p(t)}\) l' expression (3.12) au sens de Feynmann :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\delta S[q,p]}{\delta p(t)}}
&\mathbf{=\lim_{\epsilon \to 0 }\dfrac{S[q,p+\, \epsilon \, \delta (t'-t)]-S[q,p]}{\epsilon}}\\
&\mathbf{= \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left (\delta(t'-t)\, \dfrac{dq}{dt'} - \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial p}\, \delta (t'-t)\right )\, dt'}\\
&\mathbf{= \int_{t1}^{t2} \left (\dfrac{dq}{dt'} - \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial p} \right ) \, \delta (t'-t) \, dt'}\\
&\mathbf{= \left ( \dfrac{dq}{dt} - \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial p} \right ) }\\
&\mathbf{= 0}\ .
\end{align}
\]
donc
\[
\mathbf{\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{\partial H(q,p)}{\partial p}}\ .\ \ (3.14)
\]
Ainsi l'annulation des dérivées partielles fonctionnelles redonne les équations de Hamilton de la particule.
Ces calculs suivent l'heuristique \(\mathbf{\delta S[q,p] = \dfrac{\delta S[q,p]}{\delta q(t}\, q(t) + \dfrac{\delta S[q,p]}{\delta p(t)}\, p(t)}\) .
Pour un champ \(\mathbf{\Phi (x,y,z,t)}\) le lagrangien du champ \(\mathbf{L(t)}\) est l'intégrale spatiale
de la densité de Lagrangien notée :
\[
\mathbf{\ell(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t})}\ .\ \ (3.15)
\]
On a donc :
\[
\mathbf{L(t)=\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \ell(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t})\
dx \, dy \, dz}\ .\ \ (3.16)
\]
Pour ce même champ \(\mathbf{\Phi (x,y,z,t)}\) le Hamiltonien du champ \(\mathbf{H(t)}\) est l'intégrale spatiale
de la densité de Hamiltonien notée :
\[
\mathbf{h(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t})}\ .\ \ (3.17)
\]
On a donc :
\[
\mathbf{H(t)=\iiint_{\mathbb{R}^{3}} h(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z},\dfrac{\partial \Phi}{\partial t})\
dx \, dy \, dz}\ .\ \ (3.18)
\]
La densité \(\mathbf{\ell}\) permet de définir un moment conjugué de \(\mathbf{\Phi}\) suivant :
\[
\mathbf{\Pi = \dfrac{\partial}{\partial t}\, \dfrac{\partial \ell}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial t} \right )}}\ .\ \ (3.19)
\]
Par analogie avec (3.12) l'intégrale d'action devient :
\[
\mathbf{S[\Phi,\Pi] = \int _{t_{1}}^{t_{2}} \left (\iiint_{\mathbb{R}^{3}} \, \Pi \, \dfrac{\partial \Phi}{\partial t'} - h(\Phi ,\dfrac{\partial \Phi}{\partial x'},\dfrac{\partial \Phi}{\partial y'},\dfrac{\partial \Phi}{\partial z'},\Pi )\
dx' \, dy' \, dz'\, \right )dt'}\ .\ \ (3.20)
\]
Introduisons le quadrivecteur \(\mathbf{\small{\vec{R}}(x,y,z,t)}\) et l'élément différentiel \(\mathbf{d^{4} \small { \vec{R}} = dx \, dy \, dz\, dt}\) ainsi que le domaine
d'intégration \(\mathbf{D =\left [t_{1}, t_{2} \right ] \times \mathbb{R}^{3}}\).
Dérivons partiellement l'expression (3.20) par rapport à \(\mathbf{\Pi \left (\small {\vec{R},t}\right )}\) au sens de Feynmann :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\delta S[\Phi,\Pi]}{\delta \Pi \left (\small {\vec{R}},t \right )}}
&\mathbf{=\lim_{\epsilon \to 0 }\dfrac{S \left [\Phi,\Pi+\, \epsilon \, \delta \left (\small{ \vec{R'} - \vec{R}} \right )\right ]-S[\Phi,\Pi]}{\epsilon}}\\
&\mathbf{=\, \iiiint _{D}\, \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial t'}-\dfrac{\partial h}{\partial \Pi} \right ) \, \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{= \, \dfrac{\partial \Phi}{\partial t}-\dfrac{\partial h}{\partial \Pi}}\\
&\mathbf{= 0.}
\end{align}
\]
donc
\[
\mathbf{\dfrac{\partial \Phi}{\partial t}=\, \dfrac{\partial h}{\partial \Pi}}\ .\ \ (3.21)
\]
Dérivons partiellement l'expression (3.20) par rapport à \(\mathbf{\Phi \left (\small {\vec{R},t}\right )}\) au sens de Feynmann :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\delta S[\Phi,\Pi]}{\delta \Phi \left (\small {\vec{R}},t \right )}}
&\mathbf{=\lim_{\epsilon \to 0 }\dfrac{S \left [\Phi+\, \epsilon \, \delta \left (\small{ \vec{R'} - \vec{R}}\right ), \Pi \right ]-S[\Phi,\Pi]}{\epsilon}}\\
&\mathbf{= \,\, \iiiint _{D}\, \left (\Pi \, \dfrac{\partial}{\partial t'}\left ( \, \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \right )
- \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right )\, \dfrac{\partial h}{\partial \Phi} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{\, \, \, \, \, - \iiiint _{D}\, \left ( \dfrac{\partial}{\partial x'}\left ( \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \right )\, \dfrac{\partial h}{\partial \left ( \dfrac{\partial \Phi}{\partial x'}\right )} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{\, \, \, \, \, - \iiiint _{D}\, \left ( \dfrac{\partial}{\partial y'}\left ( \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \right )\, \dfrac{\partial h}{\partial \left ( \dfrac{\partial \Phi}{\partial y'}\right )} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{\, \, \, \, \, - \iiiint _{D}\, \left ( \dfrac{\partial}{\partial z'}\left ( \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \right )\, \dfrac{\partial h}{\partial \left ( \dfrac{\partial \Phi}{\partial z'}\right )} \right ) d^{4} \small {\vec{R'}}}\ .\ \ (3.22)
\end{align}
\]
Le deuxième terme de (3.22) s'ntégre simplement, les autres nécessitent une intégration par parties :
\[
\begin{align}
\mathbf{\dfrac{\delta S[\Phi,\Pi]}{\delta \Phi \left (\small {\vec{R}},t \right )}}
&\mathbf{= -\dfrac{\partial h}{\partial \Phi}}\\
&\mathbf{\, \, \, \, + \, \iiint_{ \mathbb{R}^{3}}\underbrace{\left [\delta (t'-t)\, \Pi \right ]_{t1}^{t2}}_{=0}\, \delta (x'-x)\ \delta (y'-y)\, \delta (z'-z)\, dx'\, dy'\, dz'
-\, \iiiint_{D}\, \delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right )\, \dfrac{\partial \Pi}{\partial t'}\,d^{4} \small {\vec{R'}} }\\
&\mathbf{\, \, \, \, -\iiint\, \underbrace{\left [ \delta (x'-x)\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi }{\partial x'}\right )} \right ]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\, dy' dz' dt'
+ \iiiint _{D}\delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi }{\partial x'}\right )}\, d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{\, \, \, \, -\iiint\, \underbrace{\left [ \delta (y'-y)\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi }{\partial y'}\right )} \right ]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\, dx' dz' dt'
+ \iiiint _{D}\delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi }{\partial y'}\right )}\, d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{\, \, \, \, -\iiint\, \underbrace{\left [ \delta (z'-z)\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi }{\partial z'}\right )} \right ]_{-\infty}^{+\infty}}_{=0}\, dx' dy' dt'
+ \iiiint _{D}\delta \left (\small{\vec{R'} - \vec{R}} \right ) \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi }{\partial z'}\right )}\, d^{4} \small {\vec{R'}}}\\
&\mathbf{= -\dfrac{\partial h}{\partial \Phi} -\, \dfrac{\partial \Pi}{\partial t}+\, \dfrac{\partial}{\partial x}\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \right )}
+\, \dfrac{\partial}{\partial y}\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial y} \right )}
+\, \dfrac{\partial}{\partial z}\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial z} \right )}}\\
&\mathbf{= 0}\ .\ \ (3.23)
\end{align}
\]
donc
\[
\mathbf{\dfrac{\partial \Pi}{\partial t} = -\, \dfrac{\partial h}{\partial \Phi}+\, \dfrac{\partial}{\partial x}\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \right )}
+\, \dfrac{\partial}{\partial y}\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial y} \right )}
+\, \dfrac{\partial}{\partial z}\, \dfrac{\partial h}{\partial \left (\dfrac{\partial \Phi}{\partial z} \right )} }\ .\ \ (3.24)
\]
Ainsi l'annulation des dérivées partielles fonctionnelles redonne les équations de Hamilton du champ.